Question

如图，在一个含30°的三角板ABC中，将三角板沿着AB所在直线翻转180°得到△ABF，再将三角板绕点C顺时针方向旋转60°得到△DEC，点F在AC上，连接AE．
（1）求证：四边形ADCE是菱形．
（2）连接BF并延长交AE于G，连接CG．请问：四边形ABCG是什么特殊平行四边形？为什么？

Answer 1

分析：（1）需证明△ACD是等边三角形、△AFC是等边三角形，即可证明四边形AFCD是菱形；
（2）可先证四边形ABCG是平行四边形，再由∠ABC=90°，可证四边形ABCG是矩形．

解答：证明：（1）∵三角板ABC中，将三角板沿着AB所在直线翻转180°得到△ABF，
∴△ABC≌△ABF，且∠BAC=∠BAF=30°，
∴∠FAC=60°，
∴AD=DC=AC，
又∵△ABC≌△EFC，
∴CA=CE，
又∵∠ECF=60°，
∴AC=EC=AE，
∴AD=DC=CE=AE，
∴四边形ADCE是菱形；

（2）
证明：由（1）可知：△ACD，△AFC是等边三角形，△ACB≌△AFB，
∴∠EDC=∠BAC=

1

2

∠FAC=30°，且△ABC为直角三角形，
∴BC=

1

2

AC，
∵EC=CB，
∴EC=

1

2

AC，
∴E为AC中点，
∴DE⊥AC，
∴AE=EC，
∵AG∥BC，
∴∠EAG=∠ECB，∠AGE=∠EBC，
∴△AEG≌△CEB，
∴AG=BC，（7分）
∴四边形ABCG是平行四边形，
∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCG是矩形．

点评：此题主要考查菱形和矩形的判定，综合应用等边三角形的判定、全等三角形的判定等知识是解题的关键．