数学问题：各边长都是整数，最大边长为21的三角形有多少个？
为解决上面的数学问题，我们先研究下面的数学模型：
数学模型：在1到21这21个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于21，有多少种不同的取法？
为了找到解决问题的方法，我们把上面数学模型简单化．
（1）在1～4这4个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于4，有多少种不同的取法？
根据题意，有下列取法：
1+4，
2+3，2+4，
3+2，3+4，
4+1，4+2，4+3；而1+4与4+1，2+3与3+2，…是同一种取法，所以上述每一种取法都重复过一次，因此共有
=4=
种不同的取法．
（2）在1～5这5个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于5，有多少种不同的取法？
根据题意，有下列取法：
1+5，
2+4，2+5，
3+4，3+5，
4+2，4+3，4+5；
5+1，5+2，5+3，5+4，而1+5与5+1，2+4与4+2，…是同一种取法，所以上述每一种取法都重复过一次，因此共有
=6=
种不同的取法．
（3）在1～6这6个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于6，有多少种不同的取法？
根据题意，有下列取法：
1+6，
2+5，2+6，
3+4，3+5，3+6，
4+3，4+5，4+6，
5+2，5+3，5+4，5+6，
6+1，6+2，6+3，6+4，6+5；而1+6与6+1，2+5与5+2，…是同一种取法，所以上述每一种取法都重复过一次，因此共有
=9=
种不同的取法．
（4）在1～7这7个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于7，有多少种不同的取法？
根据题意，有下列取法：
1+7，
2+6，2+7，
3+5，3+6，3+7，
4+5，4+6，4+7，
5+3，5+4，5+6，5+7，
6+2，6+3，6+4，6+5，6+7，
7+1，7+2，7+3，7+4，7+5，7+6；而1+7与7+1，2+6与6+2，…是同一种取法，所以上述每一种取法都重复过一次，因此共有
=12=
种不同的取法…
问题解决：
依照上述研究问题的方法，解决上述数学模型和提出的问题
（1）在1～21这21个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于21，有
种不同的取法；（只填结果）
（2）在1～n（n为偶数）这n个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于n，有
种不同的取法；（只填最简算式）
（3）在1～n（n为奇数）这n个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于n，有
种不同的取法；（只填最简算式）
（4）各边长都是整数，最大边长为21的三角形有多少个？（写出最简算式和结果，不写分析过程）
问题拓展：
（5）在1～100这100个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于100，有
种不同的取法；（只填结果）
（6）各边长都是整数，最大边长为11的三角形有多少个？（写出最简算式和结果，不写分析过程）
（7）各边长都是整数，最大边长为31的三角形有多少个？（写出最简算式和结果，不写分析过程）
已知：在ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于H，且BH=AC，证明：DH=DC．
名校课堂系列答案
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D在AC上，且AD=BC．E在CB的延长线上，且BE=AC，求∠BFE度数．
已知在正方形ABCD中，F在对角线AC上，BF⊥FE，且AF=CE=2，求正方形ABCD的面积．
如图，在菱形ABCD中，边AB的垂直平分线与对角线AC相交于点E，∠ABC=140°．那么∠EDC为多少度．