Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）的顶点为E，该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且BO=OC,AO=DO，直线y=mx+1与y轴交于点D．

（1）求抛物线和直线的解析式；

（2）证明：△DBO∽△EBC；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x+1，y=x2﹣2x﹣3（2）证明见解析（3）P（1，﹣1）或P（1，）或P（1，﹣）或P（1，﹣3+）或P（1，﹣3﹣）

【解析】分析：（1）抛物线，求出即可求得点的坐标，根据，求得点的坐标，代入一次函数即可确定一次函数解析式，进而求得点的坐标，根据求得点的坐标，根据待定系数法即可确定二次函数解析式.
（2）先把抛物线解析式配成顶点式得到E（1，-4），再利用一次函数解析式确定D（0，1），则利用两点间的距离公式可计算出

而得到 然后根据相似三角形的判定方法可判断
（3）设设P(1,m),则利用两点间的距离公式可得 然后分类讨论即可.

详解：(1)∵抛物线，

∴

∵

把代入得

∴直线解析式为,

∵直线与y轴交于点D，

∵

∵该抛物线与x轴交于A、B两点，

解得：

∴抛物线解析式为

(2)证明：∵

∴E(1,4)，

当x=0时, ,则D(0,1)，

∵B(3,0),A(1,0),C(0,3)，

∴

∵

∴

∴△BCE∽△BDO；

(3)存在，

理由：抛物线的对称轴为直线x=1,设P(1,m),则

当PB=PC时,△PBC是等腰三角形,则m2+4=(m+3)2+1,解得m=1,此时P(1,1)，

当PB=BC时,△PBC是等腰三角形,则m2+4=18,解得 此时或

当PC=BC时,△PBC是等腰三角形,则(m+3)2+1=18,解得此时 或

综上所述,当符P点坐标为(1,1)或或或或时，△PBC是等腰三角形。