Question

1．如图，ABCD是正方形，E是边CD上（除端点外）任意一点，AM⊥BE于点M，CN⊥BE于点N，下列结论一定成立的有（　　）个．
①△ABM≌△BCN；
②△BCN≌△CEN；
③AM-CN=MN；
④M有可能是线段BE的中点．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①根据AAS可以证明△ABM≌△BCN，利用了同角的余角相等；
②根据两角对应相等，可以证明△BCN∽△CEN，因为斜边CE和BE不相等，所以一定不全等；
③根据①中听全等可以得结论；
④根据正方形的对角线垂直平分可知：当M是线段BE的中点时，E在点D处，而已知中E是边CD上（除端点外）任意一点，所以得出：M不可能是线段BE的中点．

解答 解：①∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠ABM+∠NBC=90°，
∵AM⊥BE于点M，CN⊥BE于点N，
∴∠AMB=∠BNC=90°，
∴∠ABM+∠BAM=90°，
∴∠NBC=∠BAM，
∴△ABM≌△BCN；
故①正确；
②∵∠BCE=∠CNE=90°，∠CEN=∠CEB，
∵CE≠BE，
∴△BCN∽△CEN，
故②不正确；
③∵△ABM≌△BCN，
∴AM=BN，BM=CN，
∴MN=BN-BM=AM-CN，
故③正确；
④当M是线段BE的中点时，E在点D处，而已知中E是边CD上（除端点外）任意一点，
所以M不可能是线段BE的中点．
故④不正确；
所以正确的有：①③2个，
故选B．

点评 本题考查了正方形的性质和全等三角形的性质和判定，正方形的性质较多，要熟练掌握：①正方形的四边相等，②正方形的四个角都是直角，③正方形的对角线垂直平分且平分一组对角等；在正方形判定两三角形全等时，经常运用同角的余角相等证明角相等，从而证明两三角形全等．