Question

探究问题：圆内有很多关于线段的性质，如果能进行深入的探究，对提高自己的学习能力有很大的帮助．虽然这些知识看起来很复杂，摸不着头脑，但其实，我们完全可以用已经学习过的知识来得到这些新的知识．下面，就请同学们开动脑筋，积极思考，来作一个深入的探究吧．
如图，PT是圆O的切线，点T是切点，作线段PB与圆O相交，交点为A、B两点，连结TA、OP，OP与圆O相交于点C．
（1）探究∠ATP与∠B之间的关系；（提示：过点T作直径与圆相交，连结这个交点与A点）
（2）证明：PT²=PA•PB；
（3）如果线段PA=4，AB=5，CP=3，求出圆O的半径．

Answer 1

考点：切线的性质,勾股定理,相似三角形的判定与性质

专题：计算题

分析：（1）作直径TD，连结AD，根据圆周角定理得∠TAD=90°，∠D=∠B，则∠B+∠DTA=90°，再根据切线的性质得DT⊥PT，所以∠DTA+∠ATP=90°，利用等量代换即可得到∠ATP=∠B；
（2）根据三角形相似的怕定方法证明△ATP～△TPB，根据相似的性质得

PT

PB

=

PA

PT

，然后根据比例的性质即可得到结论；
（3）利用PT²=PA•PB可计算出PT=6，设圆O的半径为R，则OP=OC+PC=3+R，在Rt△OPT中，根据勾股定理得到R²+6²=（R+3）²，然后解方程即可得到圆的半径．

解答：（1）解：作直径TD，连结AD，
∵TD是直径，
∴∠TAD=90°
∴∠D+∠DTA=90°，
∵∠D=∠B，
∴∠B+∠DTA=90°，
∵PT是切线，
∴DT⊥PT，
∴∠DTA+∠ATP=90°，
∴∠ATP=∠B；
（2）证明：∵∠ATP=∠B，
而∠TPA=∠BPA，
∴△ATP～△TPB，
∴

PT

PB

=

PA

PT

，
∴PT²=PA•PB；
（3）解：∵PA=4，AB=5，
∴PB=9，
∴PT²=PA•PB=4×9=36，
∴PT=6，
设圆O的半径为R，则OP=OC+PC=3+R，
在Rt△OPT中，∵OT²+PT²=OP²，
∴R²+6²=（R+3）²，解得R=4.5，
即⊙O的半径为4.5．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．也考查了圆周角定理、勾股定理和相似三角形的判定与性质．