Question

（2012•金牛区三模）如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的周长为1，则第n个矩形的周长为（　　）

• A．

  1

  4n-1

• B．

  1

  4n

• C．

  1

  2n-1

• D．

  1

  2n

Answer 1

分析：易得第二个矩形的周长为

1

2

，第三个矩形的周长为（

1

2

）²，依此类推，第n个矩形的周长为（

1

2

）^n-1．

解答：解：已知第一个矩形的周长为1；
由中位线定理，可知第二个矩形的边长是菱形对应的对角线的

1

2

，即第二个矩形的边长是第一个矩形对应的边长的

1

2

，所以第二个矩形的周长为第一个矩形周长的

1

2

，故第二个矩形的周长为

1

2

；
同理，第三个矩形的周长是第二个矩形周长的

1

2

，故第三个矩形的周长为（

1

2

）²；
…
故第n个矩形的周长为（

1

2

）^n-1．
故选C．

点评：本题考查了三角形的中位线定理及矩形、菱形的性质，是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．关键是根据中位线定理得到第二个矩形的周长为

1

2

，由此得出第n个矩形的周长为第（n-1）个矩形周长的

1

2

．