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(2003•泰安)如图,矩形OBCD的边OB=2,OD=4,过点B、C且与x轴相切于点A的⊙M,与y轴的另一交点为E.
(1)求点A、E的坐标;
(2)求过A、C、E三点的抛物线的解析式.

【答案】分析:(1)可连接AM并延长AM交BC于F,那么不难得出AF⊥BC,根据垂径定理可知BF=OA=2,由此可求出A点的坐标.
求E点坐标,关键是求OE的长,可连接CE,AE,AC,由于∠EBC=90°,因此CE必过圆心M,则∠EAC=90°,因此可通过相似三角形OEA和DAC来求出OE的长,即可得出E点的坐标.
(2)根据A、C、E的坐标,用待定系数法即可求出抛物线的解析式.
解答:解:(1)连接AM并延长AM交BC于F,
由于OD与圆M相切于A,因此AF⊥OD.
∵BC∥OD,
∴AF⊥BC
∴BF=FC=OA=AD=2,
即A点的坐标为(2,0)
连接CE、AE、AC,
∵∠EBC=90°,
∴CE是圆M的直径,
∴∠EAC=90°,
可得△OEA∽△DAC,

OE=OD•OA÷CD=
因此E点的坐标为(0,).

(2)已知A,C,E的坐标分别为(2,0),(4,2),(0,).
可设过这三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+
则有
解得
因此抛物线的解析式为y=x2-x+
点评:本题主要考查了矩形的性质,切线的性质,圆周角定理,相似三角形的应用以及二次函数解析式的确定等知识点,综合性较强.
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A.
B.
C.
D.

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