Question

如图，在梯形ABCD，AD∥BC，AC⊥BD于点0，AB=DC，AD=3，BC=7，则下列结论：①∠OCB=45°；②S_△AOB=S_△OCD=

21

4

；③S_梯形ABCD=25；④AD和BC两平行线间的距离为5，其中正确的有

①②③④

．（填入序号）．

Answer 1

分析：过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，可得四边形ACED是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得CE=AD，求出BE的长度，再证明梯形ABCD是等腰梯形，根据等腰梯形的对角线相等以及AC⊥BD可得△BDE是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质即可判断出①正确，根据等腰直角三角形的性质求出点D到BE的距离，点O到BC的距离，然后根据S_△AOB=S_△OCD=S_△ABC-S_△OBC，代入数据列式进行计算即可判断出②正确；根据梯形的面积公式代入数据进行计算即可求出③正确；D到BC的距离即为AD和BC两平行线间的距离．

解答：解：如图，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，
∵AD∥BC，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴CE=AD，AC=DE，
∵AD=3，BC=7，
∴BE=BC+CE=7+3=10，
∵AC⊥BD于点0，
∴BD⊥DE，
又∵AD∥BC，AB=DC，
∴梯形ABCD是等腰梯形，
∴AC=BD，
∴BD=DE，
即Rt△BDE是等腰直角三角形，
∴∠OBC=∠OCB=45°，故①小题正确；
∴点D到BE的距离为

1

2

BE=

1

2

×10=5，
点O到BC的距离为

1

2

BC=

1

2

×7=

7

2

，
S_△AOB=S_△OCD=S_△ABC-S_△OBC，
=

1

2

×7×5-

1

2

×7×

7

2

=

21

4

，故②小题正确；
S_梯形ABCD=

1

2

（3+7）×5=25，故③小题正确；
AD和BC两平行线间的距离为点D到BC的距离，为5，故④小题正确；
综上所述，正确的有①②③④．
故答案为：①②③④．

点评：本题考查了等腰梯形的性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线把两对角线转互为同一个三角形的两边是解题的关键，梯形的问题关键在于准确作出合适的辅助线．