Question

如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A，B两点，开口向下的抛物线经过点A，B，且其顶点P在⊙C上．
（1）求∠ACB的大小；
（2）写出A，B两点的坐标；
（3）试确定此抛物线的解析式．

Answer 1

解：（1）作CH⊥x轴，H为垂足，
∵CH=1，半径CB=2，
∵∠BCH=60°，
∴∠ACB=120°．

（2）∵C（1，1），
∴CH=OH=1；（1分）
∴在Rt△CHB中，HB==；
∵CH⊥AB，CA=CB，
∴AH=BH；
故A（1-，0），B（1+，0）．

（3）由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点P的坐标为（1，3）；
∴设抛物线解析式为y=a（x-1）²+3，
由已知得抛物线经过点B（1+，0），
把点B（1+，0）代入上式，
解得a=-1．
故抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3．
分析：（1）可通过构建直角三角形来求解．过C作CH⊥AB于H，在直角三角形ACH中，根据半径及C点的坐标即可用三角形函数求出∠ACB的值．
（2）根据垂径定理可得出AH=BH，然后在直角三角形ACH中可求出AH的长，再根据C点的坐标即可得出A、B两点的坐标．
（3）根据抛物线和圆的对称性，即可得出圆心C和P点必在抛物线的对称轴上，因此可得出P点的坐标为（1，3）．然后可用顶点式二次函数通式来设抛物线的解析式．根据A或B的坐标即可确定抛物线的解析式．
点评：此题考查了二次函数的综合知识，题中用到了垂径定理、勾股定理、抛物线和圆的对称性、二次函数解析式的确定等知识，虽然涉及知识点较多，但难度不大．