Question

如图，已知抛物线过点A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）．
（1）求该抛物线的解析式及其顶点的坐标；
（2）若P是抛物线上C、B两点之间的一动点，请连接CP、BP，是否存在点P，使得四边形OBPC的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设出二次函数的一般形式后代入三个点的坐标求解即可；
（2）设存在点P（x，x²-2x-3），使得四边形OBPC的面积最大，作PD⊥x轴于点D，根据S_{四边形OCPB}=S_梯形OCPD+S_△PBD得到有关x的最大值后即可求解

解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
∵过点A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3），
∴

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=-3

解得：

a=1 b=-2 c=-3

∴抛物线的解析式为：y=x²-2x-3
∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴顶点坐标为（1，-4）；

（2）设存在点P（x，x²-2x-3），使得四边形OBPC的面积最大，
如图，作PD⊥x轴于点D，
则OD=x，PD=-（x²-2x-3）=3+2x-x²，DB=3-x，
S_{四边形OCPB}=S_梯形OCPD+S_△PBD=

1

2

（OC+PD）•OD+

1

2

DB•DP=

1

2

×（3+3+2x-x²）•x+

1

2

（3-x）（3+2x-x²）=-

3

2

（x-

3

2

）²+

63

8

则当x=

3

2

时，面积最大，
此时点P的坐标为：（

3

2

，-

15

4

）．

点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、四边形的面积等知识点，综合性强，考查学生数形结合的数学思想方法．