Question

16．如图，一种侧面形状为矩形的行李箱，箱盖打开后，盖子的一端靠在墙上，此时BC=10cm，箱底端点E与墙角G的距离为65cm，∠DCG=60°．
（1）箱盖绕点A转过的角度为150°，点B到墙面的距离为5cm；
（2）求箱子的宽EF（结果保留整数，可用科学计算器）．（参考数据：$\sqrt{2}$=1.41，$\sqrt{3}$=1.73）

Answer 1

分析 （1）如图，过点B作BH⊥CG于H，过点D作CG的垂线MN交AF于M，交HG于N．利用矩形的性质、直角三角形的性质以及等角的余角相等得到∠MAD=30°，根据周角的定义易求箱盖绕点A转过的角度；通过解直角△BHC来求BH的长度；
（2）通过解直角△AMD得到线段MD的长度，则DN=65-EF-DM，利用解直角△DCN来求CD的长度，即EF的长度即可．

解答 解：（1）如图，过点B作BH⊥CG于H，过点D作CG的垂线MN交AF于M，交HG于N．
∵∠DCG=60°，
∴∠CDN=30°．
又∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=∠BCD=90°，
∴∠MAD=∠CDN=30°（同角的余角相等），
∴箱盖绕点A转过的角度为：360°-90°-30°-90°=150°．
在直角△BCH中，∠BCH=30°，BC=10cm，则BH=$\frac{1}{2}$BC=5cm．
故答案是：150°；5；

（2）在直角△AMD中，AD=BC=10cm，∠MAD=30°，则MD=AD•sin30°=$\frac{1}{2}$×10=5（cm）．
∵∠DCN=30°，
∴cos∠DCN=cos30°=$\frac{DN}{DC}$=$\frac{65-EF-5}{EF}$，即$\frac{65-EF-5}{EF}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得EF=32.4．
即箱子的宽EF是32.4cm．

点评 本题考查了解直角三角形的应用．主要是余弦概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．