Question

8．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²-2x的对称轴为x=-1．
（1）求a的值及抛物线y=ax²-2x与x轴的交点坐标；
（2）若抛物线y=ax²-2x+m与x轴有交点，且交点都在点A（-4，0），B（1，0）之间，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用抛物线的对称轴方程得到x=-$\frac{-2}{2a}$=-1，解方程求出a即可得到抛物线的解析式为y=-x²-2x；然后解方程-x²-2x=0可得到抛物线与x轴的交点坐标；
（2）抛物线抛物线y=-x²-2x+m由抛物线y=-x²-2x上下平移|m|和单位得到，利用函数图象可得到当x=1时，y＜0，即-1-2+m＜0；当x=-1时，y≥0，即-1+2+m≥0，然后解两个不等式求出它们的公共部分可得到m的范围．

解答 解：（1）根据题意得x=-$\frac{-2}{2a}$=-1，解得a=-1，
所以抛物线的解析式为y=-x²-2x；
当y=0时，-x²-2x=0，解得x₁=0，x₂=-2，
所以抛物线与x轴的交点坐标为（-2，0），（0，0）；
（2）抛物线抛物线y=-x²-2x+m由抛物线y=-x²-2x上下平移|m|和单位得到，而抛物线的对称轴为直线x=-1，
∵抛物线y=-x²-2x+m与x轴的交点都在点A（-4，0），B（1，0）之间，
∴当x=1时，y＜0，即-1-2+m＜0，解得m＜3；
当x=-1时，y≥0，即-1+2+m≥0，解得m≥-1，
∴m的取值范围为-1≤m＜3．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：吧求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数图象的几何变换．