Question

8．如图．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=$\frac{5}{18}$x²+bx+c与x轴的交点分别为点A、B，与y轴的交点为点C，直线BC的解析式为y=$\frac{1}{3}$x-3．
（1）求抛物线的解析式：
（2）点P为直线BC下方抛物线上一点．连接PB、PC，当PB=PC时．求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，过点P作PN⊥BC于点H，点Q为线段CP上一点，连接BQ、HQ，当∠CQH=∠PQB时．求tan∠CBQ的值．

Answer 1

分析 （1）根据坐标轴上，点的特点，确定出点B，C坐标，用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）根据题意，判断出点P既在抛物线上，又在线段BC的垂直平分线上，先求出直线PH的解析式，联立抛物线的解析式即可求出点P的坐标；
（3）先判断出△BPC是等腰直角三角形，再判断出△CQG≌△CQH，进而得出CG=CH=$\frac{1}{2}$BC即可得出结论．

解答 解：（1）∵直线BC的解析式为y=$\frac{1}{3}$x-3．
∴B（9，0），C（0，-3），
∵抛物线y=$\frac{5}{18}$x²+bx+c过点C，∴c=-3，
∵抛物线y=$\frac{5}{18}$x²+bx+c过点B，
∴$\frac{5}{18}$×81+9b-3=0，
∴b=-$\frac{13}{6}$，抛物线的解析式为y=y=$\frac{5}{18}$x²-$\frac{13}{6}$x-3；
（2）如图1，∵PB=PC，
∴PH是线段BC的垂直平分线，
∵B（9，0），C（0，-3），
∴H（$\frac{9}{2}$，-$\frac{3}{2}$），
∵直线BC的解析式为y=$\frac{1}{3}$x-3，
∴直线PH的解析式为y=-3x+12，
∵点P为直线BC下方抛物线上一点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-3x+12}\\{y=\frac{5}{18}{x}^{2}-\frac{13}{6}x-3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=-9}\\{y=39}\end{array}\right.$（舍）或$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=-6}\end{array}\right.$，
∴P（6，-6）；
（3）如图2，由（2）知，B（9，0），C（-3，0），P（-6，6），
∴PC²=BP²=9+36=45，BC²=81+9=90，
∴PC²+BP²=BC²，
∴△BPC是等腰直角三角形，
∴∠BCP=45°，
∵PH⊥BC，
∴CH=$\frac{1}{2}$BC
过点C作CG⊥BC交BQ的延长线于G，
∴∠BCG=90°，
∴∠GCQ=45°=∠BCP，
∵∠CQH=∠PQB，∠BQP=∠CQG，
∴∠CQG=∠CQH，
在△CQG和△CQH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠GCQ=∠HCQ}\\{CQ=CQ}\\{∠CQG=∠CQH}\end{array}\right.$，
∴△CQG≌△CQH，
∴CG=CH=$\frac{1}{2}$BC，
在Rt△CBG中，tan∠CBQ=$\frac{CG}{BC}$=$\frac{1}{2}$．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法确定函数解析式，联立方程组求出函数图象的交点坐标，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，确定出点P的坐标是解本题的关键，构造全等三角形是解本题的难点，容易忽略的是判断△BPC是等腰直角三角形，是一道中等难度，比较典型的中考常考题．