Question

如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AO，如果AB=4，AO=6

2

，那么AC的长等于

 

．

Answer 1

分析：首先作出辅助线：过O点作OG垂直AC，G点是垂足．然后开始求值，可分成三步．第一步：求AH的值，利用△ABH∽△GOH，第二步：在直角△OHC中，求GC的值，第三步：求AC的值．

解答：解：如图，过O点作OG垂直AC，G点是垂足．
∵∠BAC=∠BOC=90°，
∴ABCO四点共圆，
∴∠OAG=∠OBC=45°
∴△AGO是等腰直角三角形，
∴2AG²=2GO²=AO²=(6

2

)2=72，
∴OG=AG=6，
∵∠BAH=∠0GH=90°，∠AHB=∠OHG，
∴△ABH∽△GOH，
∴AB/OG=AH/（AG-AH），
∵AB=4，OG=AG=6，
∴AH=2.4
在直角△OHC中，∵HG=AG-AH=6-2.4=3.6，OG又是斜边HC上的高，
∴OG²=HG×GC，
而OG=6，GH=3.6，
∴GC=10．
∴AC=AG+GC=6+10=16．
故AC边的长是16．

点评：本题考查了正方形的性质，解答本题要充分利用正方形的性质，圆的性质，三角形的相似等知识点．注意在正方形中的特殊三角形的应用，可有助于提高解题速度和准确率．