Question

一圆柱高9cm，底面半径2cm，点A，B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A，B在同一母线上，一只蚂蚁从A顺着圆柱侧面绕n圈爬行到B，求最短路径．

Answer 1

考点：平面展开-最短路径问题

专题：

分析：要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将圆柱体展开，然后利用两点之间线段最短解答．

解答：解：圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从A顺着圆柱侧面绕n圈到B的运动最短路线长是：nAC；
即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成n个小长方形，A沿着n个长方形的对角线运动到B的路线最短；
∵圆柱底面半径为2cm，
∴长方形的宽即是圆柱体的底面周长：2π×2=4π（cm）；
又∵圆柱高为9cm，
∴小长方形的一条边长是

9

n

cm；
根据勾股定理求得AC=

(4π)2+( 9 n )2

cm；
∴nAC=

16n2π2+81

cm．
答：最短路径为

16n2π2+81

cm．

点评：本题主要考查了圆柱的计算、平面展开--路径最短问题．圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高．本题就是把圆柱的侧面展开成长方形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．