Question

（2013•婺城区一模）如图，点A在反比例函数y=

3 3

x

（x＞0）的图象上，点B在x轴上，且△OAB为等边三角形（O为坐标原点）．
（1）A点坐标为

（

3

，3）

；
（2）将△OAB绕其中心（等边三角形外接圆的圆心）旋转60°，得到△O′A′B′．则A，O′两点间的距离等于

2或4

．

Answer 1

分析：（1）根据等边三角形的性质，可设点A的坐标为（a，

3

a），代入反比例函数解析式可得出a的值，继而得出点A的坐标．
（2）分两种情况讨论，①顺时针旋转，②逆时针旋转，依次得出两点的距离即可．

解答：解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴可设点A的坐标为（a，

3

a），
将点A（a，

3

a）代入反比例函数可得：

3

a=

3 3

a

，
解得：a₁=

3

，a₂=-

3

（舍去），
∴点A的坐标为（

3

，3）．
（2）

由（1）可得等边三角形ABC的边长为2

3

，外接圆的半径R=2，
①若顺时针旋转，此时点O位于点O'的位置，
∵旋转角为60°，IO'=IA=R，
∴△AIO'是等边三角形，
∴AO'=R=2；
②若逆时针旋转，此时点O位于O''位置，则此时AO''=2R=4．
综上可得O′、A两点间的距离等于2或4．
故答案为：（

3

，3）、2或4．

点评：本题考查了反比例函数综合题，涉及了等边三角形的性质、旋转的性质及圆的知识，难点在第二问，结合圆进行求解是关键，注意分类讨论，不要漏解，此题难度较大．