分析 (1)根据方程有一个正实数根c,直接代入,得:ac=-3b-1,再将其代入3ac+b<0即可;
(2)根据两个方程有相同的实数根,联立方程组,求出相同的根,再将求出的根代入其中的一个方程,用含c的式子表示出b2,即可得解;
(3)求出方程①的根的判别式,根据ac的正负,分情况讨论证明方程①的根的判别式的值大于0即可.
解答 (1)解:把x=c代入一元二次方程ax2+3bx+c=0,
得:ac2+3bc+c=0,根据c>0,可解得:ac=-3b-1,
∵3ac+b<0,
∴3(-3b-1)+b<0,解得:b>$-\frac{3}{8}$,
∵ac>0,
∴-3b-1>0,解得:b<$-\frac{1}{3}$,
∴$-\frac{3}{8}<b<-\frac{1}{3}$.
(2)解:当a=1时,方程①为:x2+3bx+c=0,
方程①与方程②有相同的非零实数根,
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+3bx+c=0}\\{3{x}^{2}+4bx+c=0}\end{array}\right.$,解得:$x=-\frac{2c}{5b}$,
把$x=-\frac{2c}{5b}$代入方程①得:$(-\frac{2c}{5b})^{2}+3b(-\frac{2c}{5b})+c=0$,
解得:5b2=4c,
将其代入,得:$\frac{5{b}^{2}-c}{5{b}^{2}+c}=\frac{4c-c}{4c+c}=\frac{3}{5}$.
(3)证明:方程①的判别式为△=(3b)2-4ac=9b2-4ac,
∵a>0,c≠0,得ac≠0,
若ac<0,则-4ac>0,
∴△=9b2-4ac>0,
此时方程①有两个不相等的实数根;
若ac>0,
∵方程kx=x+3的根为正实数,则方程(k-1)x=3的根为正实数,
由x>0,3>0,得k-1=$\frac{3}{x}$>0,
∵抛物线y=ax2+3bx+kc与x轴有两个不同的交点,
∴${△}_{1}=(3b)^{2}-4akc=9{b}^{2}-4akc>0$,
∴$△-{△}_{1}=(9{b}^{2}-4ac)-(9{b}^{2}-4akc)$=4ac(k-1),
∵ac>0,k-1>0,
∴△-△1=4ac(k-1)>0,
∴△>△1,
∵△1>0,
∴△>0,
此时方程①有两个不相等的实数根,
综上所述,方程①有两个不相等的实数根.
点评 本题主要考查一元二次方程的解及根的判别式,解答此题的关键在于熟练掌握根的判别式与方程的根的关系.
科目:初中数学 来源: 题型:填空题
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A. | ±$\sqrt{5}$ | B. | ±1 | C. | ±2 | D. | ±$\sqrt{2}$ |
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