Question

如图，正方形ABCD的中心为O，AB=8，点E，F分别是线段AD，CD上的动点（与AD，CD的交点不重合），且AE=a，CF=b．
（1）求正方形ABCD的周长；
（2）若四边形EOFD的面积为10，求代数式（a-b）²+4（a-1）（b-1）的值．
（3）当OE⊥OF时，求证：EF²=a²+b²．

Answer 1

分析：（1）根据正方形的周长=边长×4就可以直接得出结论；
（2）如图1，过点O分别作OM⊥AD于M，ON⊥CD于点N，连接OD，由三角形的面积公式就可以表示出四边形EOFD的面积，进而求出a+b的值，再由代数式变形就可以得出结论；
（3）如图2，连接OD，EF，可以得出△AEO≌△DFO，就可以得出AE=DF，进而得出DE=CF，由勾股定理就可以得出结论．

解答：解：（1）由题意，得
正方形的周长为：4×8=32．    
答：正方形ABCD的周长为：32；

（2）如图1，过点O分别作OM⊥AD于M，ON⊥CD于点N，连接OD，
∴∠AMO=∠CNO=90°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=8，∠ADC=90°，
∴OM∥CD，ON∥AD．
∵O是AC的中点，
∴AO=CO，
∴AM=DM，CN=DN，
∴OM=ON=4．
∵AE=a，CF=b，
∴DE=8-a，DF=8-b，
∴S四边形EOFD=

1

2

×4(8-a)+

1

2

×4(8-b)=10，
∴a+b=11
∵（a-b）²+4（a-1）（b-1）=（a+b）²-4（a+b）+4，（7分）
=11²-44+4，
=81；    

（3）如图2，连接OD，EF，
∵AD=CD，∠ADC=90°，O是AC的中点，
∴OD⊥AC，OD=AC．∠ODC=45°．
∵∠EOF=90°
∴∠AOE=∠DOF．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OAE=45°．
∴∠OAE=∠ODF．
在△AOE和△DOF中，

∠OAE=∠ODF OA=OD ∠OAE=∠ODF

，
∴△AOE≌△DOF（ASA），
∴AE=DF=a，
∵DE=8-a，
∴DE=8-DF．
∵CF=8-DF，
∴DE=CF，
∴DE=b，
在Rt△DEF中，由勾股定理，得EF²=a²+b²．

点评：本题考查了正方形的性质的运用，正方形的周长公式的运用，三角形的面积公式的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，解答时正确添加辅助线是解答的关键．