Question

如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于点E，与CD相交于点F，H是边BC的中点，连接DH与BE相交于点G．
（1）求证：BF=AC；
（2）若CE=3，求GE的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,线段垂直平分线的性质,等腰三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）求出BD=DC，∠ADC=∠BDF，∠ACD=∠DBF，证出△BDF≌△CDA即可；
（2）求出BG=GC，求出∠EGC=?ECG，推出CE=GE即可．

解答：（1）证明：∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
∵∠ABC=45°，
∴∠DCB=45°=∠DBC，
∴BD=DC，
在△BDF和△CEF中，
∵∠BDC=∠BEC=90°，∠DFB=∠EFC，
∴∠DBF=∠ECF，
在△BDF和△CDA中

∠BDF=∠CDA BD=DC ∠DBF=∠ECF

∴△BDF≌△CDA，
∴BF=AC；

（2）解：连接CG，
∵BD=DC，H为BC中点，
∴DH为BC垂直平分线，
∴BG=CG，
∴∠ABE=∠CBE=∠GCB，
∵∠ABC=45°，∠ABE=∠CBE，
∴∠EGC=∠CBE+∠GCB=45°，
∵∠GEC=90°，
∴∠ECG=45°=∠EGC，
∴GE=CE=3．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线性质，三角形外角性质，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生的推理能力，有一定的难度．