Question

直角梯形ABCD中，AD∥BC,AB=AD=3，边BC, AB分别在x轴和y轴上，已知点C的坐标分别为（4,0）。动点P从B点出发，以每秒1个单位的速度沿BC方向作匀速直线运动，同时点Q从D点出发，以与P点相同的速度沿DA方向运动，当Q点运动到A点时, P,Q两点同时停止运动。设点P运动时间为t，
(1)求线段CD的长。
(2) 连接PQ交直线AC于点E，当AE : EC="1" : 2时，求t的值，并求出此时△PEC的面积。
(3) 过Q点作垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N，连接PM，
①是否存在某一时刻，使以Ｍ、P、Ｃ三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在 ，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；
②当t=         时，点P、M、D在同一直线上。（直接写出）

	备用图

 

Answer 1

（1）CD= 
(2) ∵AD∥BC   ∴△AQE∽△CPE
∴  即 解得t=2
∴PC=BC－BP=4－2=2
∴S△PEC=PC× AB=×2×2="2"

y

  (3) ① 存在， 易求 MC= (t+1) ，PC=4－t

       若PC="MC" , 则 (t+1) =4－t 解得t=
若MP="MC," 则PN="CN" ，∴3－2t=1+t 解得t=
若 MP="PC," 如图, 作PF⊥AC于点F

则CF:CP=CO:CA= 
即= 解得t=   
②  t=1。

(1)利用直角三角形解出CD的长；
（2）利用△AQE∽△CPE得出，从而算出t.再根据相似三角形求出△PEC的高，然后求出△PEC的面积；
（3）① 存在，分三种情况进行讨论；②根据三点在一直线上的性质得出结果。