Question

如图，抛物线y1=a(x-m)2与y₂关于y轴对称，顶点分别为B、A，y₁与y轴的交点为C．若由A，B，C组成的三角形中，tan∠ABC=2．求：
（1）a与m满足的关系式；
（2）如图，动点Q、M分别在y₁和y₂上，N、P在x轴上，构成矩形MNPQ，当a为1时，请问：
①Q点坐标是多少时，矩形MNPQ的周长最短？
②若E为MQ与y轴的交点，是否存在这样的矩形，使得△CEQ与△QPB相似？若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线解析式求出顶点B的坐标，再根据轴对称性求出y₂的解析式，然后求出点A的坐标，再求出点C的坐标，然后根据tan∠ABC=2列式整理即可得解；
（2）①先根据a=1求出m的值，得到两抛物线的解析式，然后根据抛物线y₁的解析式设出点Q的坐标，再根据轴对称的性质以及矩形的周长公式列式整理得到矩形MNPQ的周长表达式，然后根据二次函数的最值问题解答；
②根据点Q的坐标分别表示出CE、QE，PQ、PB，然后分（i）CE和PQ是对应边时，利用相似三角形对应边成比例列式进行计算即可得解；（ii）CE与PB是对应边时，利用相似三角形对应边成比例列式进行计算即可得解．

解答：解：（1）y₁=a（x-m）²顶点B（m，0），
y₂=a（x+m） ²顶点A（-m，0），
交y轴于C（0，am ²），
∵tan∠ABC=2，
∴

CO

OB

=2，
即

am 2

m

=2，
∴am=2；

（2）①当a=1时，m=2，
所以y₁=（x-2） ²，
令Q（x，（x-2） ²），
则矩形MNPQ的周长：L=2×2x+2（x-2） ²=2x ²-4x+8=2（x-1） ²+6，
所以，当x=1时，周长的最短为6，
此时Q（1，1）；

②存在点Q₁（3，1），Q₂（3-

2

，3-2

2

），Q₃（3+

2

，3+2

2

）使得△CEQ与△QPB相似．
理由如下：∵当a=1时，m=2，
∴am²=4，
∴点C的坐标是（0，4），点B的坐标是（2，0），
又∵Q（x，（x-2） ²），
∴CE=|4-（x-2） ²|=|x²-4x|，QE=x，
PQ=（x-2） ²，PB=|2-x|，
（i）当CE和PQ是对应边时，∵△CEQ与△QPB相似，
∴

CE

PQ

=

QE

PB

，
即

|x2-4x|

(x-2)2

=

x

|2-x|

，
整理得，|x-4|=|x-2|，
所以，x-4=-（x-2），
解得x=3，
此时（x-2） ²=（3-2） ²=1，
所以，点Q的坐标为（3，1），
（ii）CE与PB是对应边时，
∵△CEQ与△QPB相似，
∴

CE

PB

=

QE

PQ

，
即

|x2-4x|

|2-x|

=

x

(x-2)2

，
整理得，|x-4|×|x-2|=1，
所以，（x-4）（x-2）=1或（x-4）（x-2）=-1，
x²-6x+7=0或x²-6x+9=0，
解得x₁=3-

2

，x₂=3+

2

，x₃=3，
当x₁=3-

2

时，（x-2） ²=（3-

2

-2） ²=3-2

2

，
当x₂=3+

2

时，（x-2） ²=（3+

2

-2） ²=3+2

2

，
综上所述，存在点Q₁（3，1），Q₂（3-

2

，3-2

2

），Q₃（3+

2

，3+2

2

）使得△CEQ与△QPB相似．

点评：本题是对二次函数的综合考查，主要利用了二次函数的顶点式解析式求顶点坐标，轴对称的性质，二次函数的对称性与矩形的对称性以及矩形的周长公式，二次函数的最值问题，相似三角形对应边成比例的性质，综合性较强，但难度不大，要注意根据对应边不同分情况讨论．