Question

12．函数y=$\frac{3}{x}$与y=2x+4图象的交点坐标为（a，b），则$\frac{1}{2a}$-$\frac{1}{b}$的值为$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 （方法一）联立两函数解析式成方程组，通过解方程组求出交点的坐标，将其代入$\frac{1}{2a}$-$\frac{1}{b}$中即可得出结论；
（方法二）根据一次函数（反比例）图象上点的坐标特征，可得出ab=3、b-2a=4，将其代入$\frac{1}{2a}$-$\frac{1}{b}$=$\frac{b-2a}{2ab}$中即可得出结论．

解答 解：（方法一）联立两函数解析式成方程组，
$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{x}}\\{y=2x+4}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-\frac{2+\sqrt{10}}{2}}\\{{y}_{1}=2-\sqrt{10}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{\sqrt{10}-2}{2}}\\{{y}_{2}=\sqrt{10}+2}\end{array}\right.$，
∴交点坐标为（-$\frac{2+\sqrt{10}}{2}$，2-$\sqrt{10}$）和（$\frac{\sqrt{10}-2}{2}$，$\sqrt{10}$+2），
∴$\frac{1}{2a}$-$\frac{1}{b}$=-$\frac{1}{2+\sqrt{10}}$-$\frac{1}{2-\sqrt{10}}$=$\frac{2}{3}$或$\frac{1}{2a}$-$\frac{1}{b}$=$\frac{1}{\sqrt{10}-2}$-$\frac{1}{\sqrt{10}+2}$=$\frac{2}{3}$．
故答案为：$\frac{2}{3}$．
（方法二）∵函数y=$\frac{3}{x}$与y=2x+4图象的交点坐标为（a，b），
∴ab=3，b-2a=4，
∴$\frac{1}{2a}$-$\frac{1}{b}$=$\frac{b-2a}{2ab}$=$\frac{4}{2×3}$=$\frac{2}{3}$．
故答案为：$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的坐标特征，（方法一）通过联立两函数解析式成方程组，求出交点坐标是解题的关键；（方法二）根据一次函数（反比例）图象上点的坐标特征，找出ab=3、b-2a=4是解题的关键．