Question

11．一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔301支以上（包括301支）可以按批发价付款；购买300支以下（包括300支）只能按零售价付款，现有小王购买铅笔，如果给初三年级学生每人买1支，只能按零售价付款，需用（m²-1）元，（m为正整数，且m²-1＞100）如果多买60支，则可按批发价付款，同样需用（m²-1）元．
（1）设初三年级共有x名学生，则x的取值范围是多少？铅笔的零售价每支多少元？批发价每支应为多少元？（用含x、m的代数式表示）
（2）若按批发价每购15支比按零售价每购15支少一元，试求初三年级共有多少学生？并确定m的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意可以得到x的取值范围，从而可以得到铅笔的零售价和批发价；
（2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得x与m的关系，再根据（1）中x的取值范围和m为正整数，且m²-1＞100，可以确定m的值，从而可以得到初三的学生数．

解答 解：（1）由题意可得，
x的取值范围是：240＜x≤300（x为正整数）；
铅笔的零售价每支应为：$\frac{{m}^{2}-1}{x}$ 元；
铅笔的批发价每支应为：$\frac{{m}^{2}-1}{x+60}$元；
（2）由题意可得，
15×$\frac{{m}^{2}-1}{x}$-15×$\frac{{m}^{2}-1}{x+60}$=1，
化简，得
x²+60x-900（m²-1）=0，
解得，x₁=30（m-1），x₂=-30（m-1）（舍去），
∴240＜30（m-1）≤300，
解得，9＜m≤11，
∴m=10或m=11，
当m=10时，m²-1=99＜100，故m=10不合题意，舍去，
当m=11时，m²-1=120＞100，符合题意，
∴m=11，
∴x=30（m-1）=300，
经检验x=300是原分式方程的解，
答：初三年级共有300名学生，m的值是11．

点评 本题考查一元二次方程的应用，分式方程的应用，解一元一次不等式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，注意分式方程要检验，应用题最后要作答．