如图.直线y=-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$与y轴.x轴分别交于A.B两点.点C在x轴上.且△ABC为等边三角形．(1)写出直线AC的解析式y=$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$,(2)如图1.M.N分别在BA.AC的延长线上.且AM=CN.直线MC交BN于K.BG⊥MK于点G.求证:MC-KN=2GK,(3)如图2.过B作DB⊥AB.交y轴于D.将一块含30� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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8．如图，直线y=-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$与y轴、x轴分别交于A，B两点，点C在x轴上，且△ABC为等边三角形．
（1）写出直线AC的解析式y=$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$；
（2）如图1，M，N分别在BA，AC的延长线上，且AM=CN，直线MC交BN于K，BG⊥MK于点G，求证：MC-KN=2GK；
（3）如图2，过B作DB⊥AB，交y轴于D，将一块含30°角的三角板的60°角的顶点置于D点，角的两边分别交AC，AB于 E，F．当此三角板任意旋转时，△AEF的周长是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请证明并求出其值．

分析（1）首先分别求出点A、B的坐标，以及AB的长度；然后求出BC的长度，即可确定出点C的坐标；最后应用待定系数法，求出直线AC的解析式即可．
（2）首先判断出∠MAC=∠NCB，再根据全等三角形判定的方法，判断出△AMC≌△CNB，即可判断出MC=NB=KN+BK，∠AMC=∠CNB；然后判断出∠GBK=30°，即可推得BK=2GK，所以MC=NB=KN+BK=KN+2GK，即MC-KN=2GK成立，据此判断即可．
（3）延长AC到G使CG=BF，连结CD，先利用“SAS”证明△DCG≌△DBF，得到DG=DF，∠GDC=∠BDF；由∠CDB+∠BAC=180°，则∠CDB=120°，由∠EDF=60°得到∴∠CDE+∠BDF=60°，则∠GDE=60°，于是可根据“SAS”判断△GDE≌△FDE，则GE=EF，然后计算△AEF的周长，得到△AEF的周长AE+GE+AF，再进行等相等代换得到△AEF的周长=2AB=4．

解答（1）解：∵直线y=-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$与y轴、x轴分别交于A，B两点，
∴A（0，$\sqrt{3}$），B（1，0），
∴AB=$\sqrt{{（\sqrt{3}）}^{2}{+1}^{2}}=2$，
∵△ABC为等边三角形，
∴BC=AB=2，
∴C点的坐标是（-1，0），
设直线AC的解析式是y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{b=\sqrt{3}}\\{-k+b=0}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\sqrt{3}}\\{b=\sqrt{3}}\end{array}\right.$
∴直线AC的解析式是y=$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$．
故答案为：y=$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$．
（2）证明：如图1，，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=∠ACB=60°，AC=CB，
∴∠MAC=180°-∠BAC=180°-60°=120°，
∴∠NCB=180°-∠ACB=180°-60°=120°，
∴∠MAC=∠NCB，
在△AMC和△CNB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=CB}\\{∠MAC=∠NCB}\\{AM=CN}\end{array}\right.$
∴△AMC≌△CNB，
∴MC=NB=KN+BK，∠AMC=∠CNB，
∵∠GKB=∠CNB+∠NCK=∠AMC+∠ACM=∠BAC=60°，
又∵BG⊥MK，
∴∠BGK=90°，
∴∠GBK=90°-60°=30°，
∴BK=2GK，
∴MC=NB=KN+BK=KN+2GK，
∴MC-KN=2GK成立．

（3）△AEF的周长不变．理由如下：
延长AC到G使CG=BF，连结CD，如图3，
∵△ABC是等边三角形，OC=OB=1，
∴AD垂直平分BC，
∴∠ACD=90°，CD=BD，
在△DCG和△DBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{CG=BF}\\{∠DCG=∠DBF=90°}\\{DC=DB}\end{array}\right.$，
∴△DCG≌△DBF（SAS），
∴DG=DF，∠GDC=∠BDF，
∵∠CDB+∠BAC=180°，
∴∠CDB=180°-60°=120°，
而∠EDF=60°，
∴∠CDE+∠BDF=60°，
∴∠CDE+∠GDC=60°，即∠GDE=60°，
在△GDE和△FDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{GD=DF}\\{∠GDE=∠FDE=60°}\\{DE=DE}\end{array}\right.$，
∴△GDE≌△FDE（SAS），
∴GE=EF，
∴△AEF的周长=AE+EF+AF=AE+GE+AF=AE+EC+CG+AF=AE+EC+BF+AF=AC+AB
∵OC=OB=1，
∴AB=AC=BC=2，
∴△AEF的周长=2+2=4．

点评本题是一次函数的综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，勾股定理的应用、三角形全等的判定和性质以及等边三角形的性质；正确使用三角形全等解决线段相等和角相等是解题的关键．

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方案二：220元的商品按促销方式①购买，380元的商品按促销方式②购买；
方案三：220元的商品按促销方式②购买，380元的商品按促销方式①购买；
方案四：220元和380元的商品均按促销方式②购买．
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