Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0＜t＜6）．
（1）当t为何值时，△PBC为等腰直角三角形？
（2）求当移动到△QAP为等腰直角三角形时斜边QP的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：对于任何时刻t，PB=12﹣2t，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=∠B=90°，CB=AD=6，

当PB=CB时，△PBC为等腰直角三角形，

即12﹣2t=6，

解得：t=3

∴当t=3，△PBC为等腰直角三角形

（2）解：∵AP=2t，DQ=t，QA=6﹣t

当QA=AP时，△QAP为等腰直角三角形．

即6﹣t=2t．

解得：t=2（秒）．

∴当t=2秒时，△QAP为等腰直角三角形．

此时 AP=4，QA=2，

在Rt△QAP中，QP= = =2

【解析】（1）由矩形的性质得出∠A=∠B=90°，CB=AD=6，当PB=CB时，△PBC为等腰直角三角形，得出方程，解方程即可；（2）由题意得出AP=2t，DQ=t，QA=6﹣t当QA=AP时，△QAP为等腰直角三角形．得出方程，解方程求出t=2，得出AP、QA的长度，再由勾股定理求出QP即可．
【考点精析】本题主要考查了等腰直角三角形和勾股定理的概念的相关知识点，需要掌握等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°；直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2才能正确解答此题．