Question

已知：如图①,在Rt△ACB中,∠C＝90º,AC＝6cm,BC＝8cm,点P由B出发沿BC方向向点C匀速运动,速度为2cm/s；点Q由A出发沿AB方向向点B匀速运动,速度为1cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t(s)（0＜t＜4）,解答下列问题：

（1）当t为何值时,PQ的垂直平分线经过点B？
（2）如图②,连接CQ．设△PQC的面积为y（cm²）,求y与t之间的函数关系式；

（3）如图②,是否存在某一时刻t,使线段C Q恰好把四边形ACPQ的面积分成1：2的两部分？若存在,求出此时t的值；若不存在,说明理由.

Answer 1

（1）当t=时,PQ的垂直平分线经过点B；
（2）；
（3）存在,当时,线段C Q恰好把四边形ACPQ的面积分成1：2的两部分．

试题分析：（1）用含有t的代数式表示PB和BQ,再根据线段垂直平分线上的点到线段两段点的距离相等即可；
（2）先证△BQH∽△BAC,再根据相似三角形的对应边成比例即可；
（3）分两种情况讨论：当S_△AQC=2S_△PQC时和当2S_△AQC =S_△PQC时,分别求出t的值．
试题解析：（1）在Rt△ABC中,AB=．
∵PQ的垂直平分线经过点B
∴PB=BQ
∵PB=2t,PQ=10-t,
∴2t=10-t
解得：t=
即：当t=时,PQ的垂直平分线经过点B;
(2) 如图①过点Q作QH⊥BC于H．

∵∠C=90°,
∴AC⊥BC,
∴QH∥AC,
∴△BQH∽△BAC,
∴,
∴,
∴,
∴．
（3）存在
如图②过点Q作QM⊥BC于M,QN⊥AC于N,

∵QM⊥BC于M,∠ACB=90°,
∴QM∥AC,
∴△BQM∽△BAC,
∴,
∴,
∴,
∵QN⊥AC于N,∠ACB=90°,
∴QN∥BC,
∴△AQN∽△ABC,
∴,
∴,
∴,
∵线段CQ恰好把四边形ACPQ的面积分成1：2的两部分,
∴S_△AQC=2S_△PQC或2S_△AQC =S_△PQC
当S_△AQC=2S_△PQC时,


∴
当2S_△AQC =S_△PQC时,


∴
综上可知：当时,线段C Q恰好把四边形ACPQ的面积分成1：2的两部分.