Question

已知关于x的一元二次方程2x²-4nx-2n=1和x²-（3n-1）x+2n²-3n=2，问是否存在这样的n值，使得第一个方程的两实根的平方和等于第二个方程的一整数根？若存在，求出这样的n值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：存在．理由如下：
设方程2x²-4nx-2n=1的两根为x₁，x₂，变形方程得到方程2x²-4nx-2n-1=0，
x₁+x₂=2n，x₁•x₂=-，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=4n²+2n+1，
对于方程x²-（3n-1）x+2n²-3n-2=0，△=（3n-1）²-4（2n²-3n-2）=n2+6n+9=（n+3）²，
∴x=，即x₁=2n+1，x₂=n-2，
当4n²+2n+1=2n+1，解得n=0；
当4n²+2n+1=n-2，整理得4n²+n+3=0，△＜0，方程无解，
∴m的值为0．
分析：设方程2x²-4nx-2n=1的两根为x₁，x₂，变形方程得到方程2x²-4nx-2n-1=0，根据根与系数的关系得到x₁+x₂=2n，x₁•x₂=-，再x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=4n²+2n+1，然后解方程x²-（3n-1）x+2n²-3n-2=0得到x₁=2n+1，x₂=n-2，根据题意得到方程4n²+2n+1=2n+1和4n²+2n+1=n-2，最后分别解两个关于n的方程即可．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x₁，x₂，则x₁+x₂=-，x₁•x₂=．也考查了一元二次方程根的判别式．