【题目】∠ACD是△ABC的外角,BE平分∠ABC,CE平分∠ACD,且BE、CE交于点E.
(1)若∠A=58,求:∠E的度数.
(2)猜想∠A与∠E的关系,并说明理由.
【答案】(1) ∠E的度数290;(2)∠A与∠E的关系是∠E =∠A,理由详见解析.
【解析】
(1)根据角平分线的定义可得∠ABC=2∠CBE,∠ACD=2∠DCE,根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC,∠DCE=∠E+∠CBE,然后整理即可得到∠A=2∠E,再求解即可;
(2)根据(1)的求解解答.
(1)∵BE平分∠ABC,CE平分∠ACD,∴∠ABC=2∠CBE,∠ACD=2∠DCE,由三角形的外角性质得:∠ACD=∠A+∠ABC,∠DCE=∠E+∠CBE,∴∠A+∠ABC=2(∠E+∠CBE),∴∠A=2∠E.
∵∠A=58°,∴∠E=29°.
(2)∠E =∠A.理由如下:
∵BE平分∠ABC,CE平分∠ACD,∴∠ABC=2∠CBE,∠ACD=2∠DCE,由三角形的外角性质得:∠ACD=∠A+∠ABC,∠DCE=∠E+∠CBE,∴∠A+∠ABC=2(∠E+∠CBE),∴∠A=2∠E,∴∠E =∠A.
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【题目】如图,在直角△ABC中,∠ABC=90°,点M是AC的中点,以AB为直径作⊙O分别交AC,BM于点D,E.
(1)求证:MD=ME;
(2)填空:连接OE,OD,当∠A的度数为时,四边形ODME是菱形.
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【题目】在一个布口袋里装有红色、黑色、蓝色和白色的小球各1个,如果闭上眼睛随机地从布袋中取出一个球,记下颜色,放回布袋搅匀,再闭上眼睛随机的再从布袋中取出一个球.求:
(1)连续两次恰好都取出红色球的概率;
(2)连续两次恰好取出一红、一黑的概率.
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【题目】求抛物线的解析式
(1)已知抛物线的顶点为(﹣1,﹣3),与y轴的交点为(0,﹣5),求抛物线的解析式.
(2)求经过A(1,4),B(﹣2,1)两点,对称轴为x=﹣1的抛物线的解析式.
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【题目】如图,已知抛物线与x交于A(﹣1,0)、E(3,0)两点,与y轴交于点B(0,3)
(1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线顶点为D,求四边形AEDB的面积.
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【题目】阅读下面材料,并解决问题:
(1)如图(1),等边△ABC内有一点P若点P到顶点A,B,C的距离分别为3,4,5欲求∠APB的度数,由于PA,PB不在一个三角形中,为了解决本题我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处,此时△ACP′≌△ABP这样,就可以利用全等三角形知识,将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求出∠APB的度数.
请将下列解题过程补充完整。
∵△ACP′≌△ABP,
∴AP′= =3,CP′= =4,∠ =∠APB.
由题意知旋转角∠PA P′=60°,∴△AP P′为 三角形,
P P′=AP=3,∠A P′P=60°。
易证△P P′C为直角三角形,且∠P P′C=90°,
∴∠APB=∠AP′C=∠A P′P+∠P P′C= °+ °= °.
请你利用第(1)题的解答思想方法,解答下面问题:
已知如图(2),△ABC中,∠CAB=90°,AB=AC,E、F为BC上的点且∠EAF=45°,
求证:EF2=BE2+FC2.
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【题目】直角三角形纸片ABC中,∠ACB=90°,AC≤BC,如图,将纸片沿某条直线折叠,使点A落在直角边BC上,记落点为D,设折痕与AB、AC边分别交于点E、F.
(1)如果∠AFE=65°,求∠CDF的度数;
(2)若折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形,那么纸片中∠B的度数是多少?写出你的计算过程,并画出符合条件的折叠后的图形.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,定义点P(x,y)的变换点为P′(x+y,x﹣y).
(1)如图1,如果⊙O的半径为2 ,
①请你判断M(2,0),N(﹣2,﹣1)两个点的变换点与⊙O的位置关系;
②若点P在直线y=x+2上,点P的变换点P′在⊙O的内,求点P横坐标的取值范围.
(2)如图2,如果⊙O的半径为1,且P的变换点P′在直线y=﹣2x+6上,求点P与⊙O上任意一点距离的最小值.
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【题目】已知:如图,斜坡AP的坡度为1:2.4,坡长AP为26米,在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC,在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°,在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°.求:
(1)坡顶A到地面PQ的距离;
(2)古塔BC的高度(结果精确到1米).(参考数据:sin76°≈0.97,cos76°≈0.24,tan76°≈4.01)
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