Question

如图，直线y=-x+3与x轴交于点C，与y轴交于点A，点B的坐标为（2，3）抛物线y=-x²+bx+c经过A、C两点．
（1）求抛物线的解析式，并验证点B是否在抛物线上；
（2）作BD⊥OC，垂足为D，连接AB，E为y轴左侧抛物线点，当△EAB与△EBD的面积相等时，求点E的坐标；
（3）点P在直线AC上，点Q在抛物线y=-x²+bx+c上，是否存在P、Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）先求出直线y=-x+3与x轴交点C，与y轴交点A的坐标，再将A、C两点坐标代入y=-x²+bx+c，利用待定系数法求出抛物线的解析式，然后将x=2代入，计算y的值，即可判断点B（2，3）是否在抛物线上；
（2）先由一个角是直角的平行四边形是矩形证明四边形AODB是矩形，则AB⊥AO．再设E（x，-x²+2x+3），根据三角形的面积公式得出S_△EAB=

1

2

AB•[3-（-x²+2x+3）]=x²-2x，S_△EBD=

1

2

BD•（2-x）=

3

2

（2-x），由S_△EAB=S_△EBD，列出方程x²-2x=

3

2

（2-x），解方程即可求出点E的坐标；
（3）设点P的坐标为（x，-x+3），以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，可分两种情况进行讨论：①当AB为边时；又分四边形BAPQ为平行四边形和四边形BAQP为平行四边形两种情况，根据平行四边形的对边平行且相等用含x的代数式表示出Q点坐标，再将Q点坐标代入y=-x²+2x+3，列出方程，解方程求出点P的坐标；②当AB为对角线时，根据平行四边形的对角线互相平分得到Q点坐标，再将Q点坐标代入y=-x²+2x+3，列出方程，解方程求出点P的坐标．

解答：解：（1）在y=-x+3中，
令x=0，得y=3；令y=0，得x=3，
∴A（0，3），C（3，0）．
∵抛物线y=-x²+bx+c经过A、C两点，
∴

c=3 -9+3b+c=0

，
解得

b=2 c=3

，
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3，
当x=2时，y=-2²+2×2+3=3，
∴点B（2，3）在抛物线上；

（2）∵A（0，3），B（2，3），
∴AO=BD=3，
∵AO⊥OC，BD⊥OC，
∴AO∥BD，
∴四边形AODB是平行四边形，
∵∠AOD=90°，
∴平行四边形AODB是矩形，
∴AB⊥AO．
设E（x，-x²+2x+3），
则S_△EAB=

1

2

AB•[3-（-x²+2x+3）]=x²-2x，
S_△EBD=

1

2

BD•（2-x）=

3

2

（2-x），
∵S_△EAB=S_△EBD，
∴x²-2x=

3

2

（2-x），
解得x₁=-

3

2

，x₂=2（舍去），
∴点E的坐标为（-

3

2

，-

9

4

）；

（3）存在P、Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形．理由如下：
设点P的坐标为（x，-x+3），分两种情况：
①当AB为边时；
Ⅰ）如果四边形BAPQ为平行四边形，那么PQ∥AB∥x轴，且PQ=AB=2，
∴Q点坐标为（x+2，-x+3），
∵Q点在抛物线y=-x²+2x+3上，
∴-x+3=-（x+2）²+2（x+2）+3，
整理得x²+x=0，
解得x₁=-1，x₂=0（舍去），
∴点P的坐标为（-1，4）；
Ⅱ）如果四边形BAQP为平行四边形，那么PQ∥AB∥x轴，且PQ=AB=2，
∴Q点坐标为（x-2，-x+3），
∵Q点在抛物线y=-x²+2x+3上，
∴-x+3=-（x-2）²+2（x-2）+3，
整理得x²-7x+8=0，
解得x₁=

7+ 17

2

，x₂=

7- 17

2

，
∴点P的坐标为（

7+ 17

2

，-

1+ 17

2

）或（

7- 17

2

，

17 -1

2

）；
②当AB为对角线时，则AB与PQ互相平分，
∵A（0，3），B（2，3），
∴AB中点坐标为（1，3），
∵点P的坐标为（x，-x+3），
∴点Q的坐标为（2-x，x+3），
∵Q点在抛物线y=-x²+2x+3上，
∴x+3=-（2-x）²+2（2-x）+3，
整理得x²-x=0，
解得x₁=1，x₂=0（舍去），
∴点P的坐标为（1，2）；
综上所述，符合条件的点P坐标为（-1，4）或（

7+ 17

2

，-

1+ 17

2

）或（

7- 17

2

，

17 -1

2

）或（1，2）．

点评：本题是二次函数的综合题，主要考查了利用待定系数法求抛物线的解析式，矩形的判定与性质，三角形的面积，平行四边形的性质，综合性较强，难度适中．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．