Question

已知：抛物线y＝x²＋mx＋n与x轴交A、B两点(A点在B点左侧)，B(3，0)，

且经过C(2，－3)，与y轴交于点D，

(1)求此抛物线的解析式及顶点F的坐标；

(2)P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物于E点，求线段PE长度的最大值；

(3)在(1)的条件下，在x轴上是否存在两个点G、H(G在H的左侧)，且GH＝2，使得线段GF＋FC＋CH＋HG的长度和为最小；如果存在，求出G、Ｈ的坐标；如果不存在，说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)抛物线过点B(3，0)；C(2，－3) 　　 　　∴m＝－2，n＝－3 　　∴y＝x2－2x－3 　　∴y＝(x－1)2－4…………………………2分 　　∴顶点F坐标(1，－4)………………3分 　　(2)设AC的解析式为：y＝kx＋b 　　A(－1，0)　C(2，－3) 　　 　　解得：k＝－1，b＝－1 　　∴AC的解析式为：y＝－x－1………………4分 　　设点P的横坐标为a，则P(a，－a－1)，E的横坐标为a， 　　∵E在抛物线上，故E(a，a2－2a－3) 　　∴PE＝－a－1－(a2－2a－3)＝－a2＋a＋2＝－(a－)2＋ 　　∵－1＜a＜2 　　∴当a＝时，PE的最大值为………………5分 　　(3)只需求GC＋HF最短． 　　抛物线y＝x2－2x－3的对称轴为． 　　将点F向右平移2个单位长度至F1，F1(3，－4)， 　　作F1关于x轴的对称点F2(3，4)， 　　联结F2F，与x轴交于点H，H为所求．…………………6分 　　可求得F2F，的解析式为：…………………7分 　　当y＝0时，x＝……………………………8分 　　∴点H的坐标为(，0)，点G的坐标为(，0)．………………9分