Question

19．已知抛物线C：y₁=a（x-1）²+k₁（a≠0）交x轴于点M（-2，0）与点A₁（b₁，0），抛物线C₂：y₂=a（x-$\frac{1}{2}$b₁）²+k₂交x轴于点M（-2，0）与点A₂（b₂，0），抛物线C₃：y₃=a（x-$\frac{1}{2}$b₂）²+k₃交x轴于点M（-2，0）与点A₃（b₃，0），…按此规律，
抛物线C_n：y_n=a（x-$\frac{1}{2}$b_n-1）²+k_n交x轴于点M（-2，0）与点A_n（b_n，0），（其中n为正整数），我们把抛物线C₁，C₂，C₃…，C_n称为系数a的抛物线族．
（1）试求出b₁的值；
（2）线段A_n-1A_n的长为多少；
（3）探究如下问题：（用含a的代数式表示）
①抛物线y₃的顶点坐标为（3，-25a）；
②依此类推第n条抛物线y_n的顶点坐标为（n，-（n+2）²a）；
（4）抛物线C₁₀的顶点N，是否存在△MNA₁₀是等腰直角三角形的情况？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线C₁：y₁=a（x-1）²+k₁（a≠0）交x轴于点（0，0），对称轴为直线x=1，可得抛物线与x轴的另一个交点，进一步得到b₁的值；
（2）由与（1）相同的方法可得b_n=2ⁿ，则A_n-1A_n=b_n-b_n-1可求；
（3）①把M（-2，0）与点A₃（b₃，0），b₃=6代入y₃=a（x-$\frac{1}{2}$b₂）²+k₃交即可得到结论；
②由①的结论即可得到第n条抛物线y_n的顶点坐标为[n，-（n+2）²a]；
（4）由已知条件得到C₁₀：y₁=a（x-10）²+-144a（a≠0）顶点N（10，-144a），A₁₀（22，0），求得|MA₁₀|=24，根据已知条件列方程即可得到结论．

解答 解：（1）∵抛物线C₁：y₁=a（x-1）²+k₁（a≠0）M（-2，0）与点A₁（b₁，0），对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（4，0），
∴b₁=4；

（2）由与（1）相同的方法可得b₂=6，b₃=8，b₄=10，
按此规律可得b_n=2n+2，
∴A_n-1A_n=b_n-b_n-1=2n+2-2（n-1）+2=2；

（3）①∵y₃=a（x-$\frac{1}{2}$b₂）²+k₃交x轴于点M（-2，0）与点A₃（b₃，0），b₃=6，
∴0=a（-2-3）²+k₃，
∴k₃=-25a，
∴抛物线y₃的顶点坐标为（3，-25a）；
∴依此类推第n条抛物线y_n的顶点坐标为[n，-（n+2）²a]；
故答案为：3，-25a；n，-（n+2）²a；

（4）存在，理由：∵C₁₀：y₁=a（x-10）²+-144a（a≠0）顶点N（10，-144a），A₁₀（22，0），
∴|MA₁₀|=24，
∵△MNA₁₀是等腰直角三角形，
∴|-144a|=$\frac{1}{2}×$24，
∴a=±$\frac{1}{12}$，
∴a=±$\frac{1}{12}$，△MNA₁₀是等腰直角三角形．

点评 考查了二次函数综合题，主要利用了二次函数的对称性，以及顶点坐标，等腰直角三角形的性质，找到规律是解题的关键．