Question

13．如图，港口B在港口A的正东方向，一艘船从港口A出发，沿北偏东75°方向航行20海里到C处，此时测得港口B在C的南偏东45°方向，求C到港口B的距离，（结果保留到0.01海里）（参考数据$\sqrt{2}$≈1.414，$\sqrt{3}$≈1.732）

Answer 1

分析 如图，作CH⊥AB于H，在AB上截取一点使得AE=EC．设CH=BH=x，则易知EC=2CH=2x，EH=$\sqrt{3}$x，在Rt△ACH中，根据AC²=CH²+AH²，可得20²=x²+（2x+$\sqrt{3}$x）²，解方程即可解决问题．

解答 解：如图，作CH⊥AB于H，在AB上截取一点使得AE=EC．

在Rt△CHB中，∵∠BCH=45°，
∴CH=BH，设CH=BH=x，
∵∠DAC=75°，∠DAB=90°，
∴∠EAC=∠ECA=15°，
∴∠CEH=∠EAC+∠ECA=30°，
∴EC=2CH=2x，EH=$\sqrt{3}$x，
在Rt△ACH中，∵AC²=CH²+AH²，
∴20²=x²+（2x+$\sqrt{3}$x）²，
解得x=5$\sqrt{2}$（$\sqrt{3}$-1），
∴BC=$\sqrt{2}$CH=10（$\sqrt{3}$-1）=7.32海里．
答：C到港口B的距离7.32海里．

点评 本题考查解直角三角形的应用、勾股定理、直角三角形的30度角性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构添加常用辅助线，构建方程解决问题，属于中考常考题型．