Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，点E为CD上一点，将△BCE沿BE翻折后点C恰好落在AD边上的点F处，过F作FH⊥BC于H，交BE于G，连接CG．

（1）求证：四边形CEFG是菱形；

（2）若AB=8，BC=10，求四边形CEFG的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）20.

【解析】

（1）根据翻折的性质可得∠1=∠2，EC=EF，再根据同角的余角相等求出∠1=∠3，从而得到∠2=∠3，根据同位角相等，两直线平行可得EF∥CG，再根据垂直于同一直线的两直线平行求出FG∥CD，从而求出四边形CEFG是平行四边形，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明；

（2）根据翻折的性质可得BF=BC=10，然后利用勾股定理列式求出AF，从而得到DF的长，设CE=EF=x，表示出DE，在Rt△DEF中，利用勾股定理列出方程求出x的值，再根据菱形的面积公式列式计算即可得解．

（1）证明：根据翻折，∠1=∠2，EC=EF，

∵FH⊥BC，

∴∠3+∠4=90°，

又∵∠1+∠4=∠BCD=90°，

∴∠1=∠3，

∴∠2=∠3，

∴EF∥CG，

又∵FH⊥BC，∠BCD=90°，

∴FG∥CD，

∴四边形CEFG是平行四边形，

∵EC=EF（已证），

∴四边形CEFG是菱形；

（2）解：根据翻折，BF=BC=10，

在Rt△ABF中，AF==6，

∴DF=AD-AF=10-6=4，

设CE=EF=x，则DE=CD-CE=8-x，

在Rt△DEF中，DF2+DE2=EF2，

即42+（8-x）2=x2，

解得x=5，

所以，四边形CEFG的面积=CEDF=5×4=20．