Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为（0，5）（0，2）（4，2），直线l的解析式为y = kx+5－4k（k > 0）．

（1）当直线l经过点B时，求一次函数的解析式；

（2）通过计算说明：不论k为何值，直线l总经过点D；

（3）直线l与y轴交于点M，点N是线段DM上的一点， 且△NBD为等腰三角形，试探究：

①当函数y = kx+5－4k为正比例函数时，点N的个数有 个；

②点M在不同位置时，k的取值会相应变化，点N的个数情况可能会改变，请直接写出点N所有不同的个数情况以及相应的k的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）y =x+2；（2）说明见解析；（3）①2；②；当k≥2时，有3个点；当＜k＜2时，有2个点；当k=时，有0个；当0＜k＜时，有1个．

【解析】

（1）将点B坐标代入解析式求出k的值；

（2）将点D的坐标代入解析式，得出答案；

（3）根据图形的平行法则求出零界值，然后进行分类．

解： （1）将点B（0，2）代入y=kx+5－4k得

∴y =x+2

（2）由题意可得：点D坐标为（4，5）

把x=4代入y=kx+5－4k得y=5 ∴不论k为何值，直线l总经点D；

（3）①当函数y=kx+5-4k为正比例函数时可得5-4k=0，解得k=，
∴直线解析式为y=x，则BM=2，如图1所示，

以D为圆心BD为半径画圆，与DM有一交点，BD的垂直平分线与DM有一交点，
故满足条件的点有两个．
故答案为：2；
②∵k＞0，
∴5-4k＜5，
当5-4k=-3时，k=2，此时OM=3，则MB=5，如图2所示，

分别以B、D为圆心BD为半径画圆，与DM交于点M和N1，和BD的垂直平分线交DM于点N2，故此时满足条件的N点有3个，
当k＞2时，此时MB＞5，如图3所示，

分别以B、D为圆心BD为半径画圆，与DM交于N1、N2两点，BD的垂直平分线交DM于N3，
故满足条件的点有3个，
∴当k≥2时，满足条件的点有3个，
当＜k＜2时，此时0＜OB＜5，同理可得出满足条件点有两个，
当k=时，此时B、M重合，则满足条件的N点有0个，
当0＜k＜时，即M在线段AB上时，同理可知满足条件的点只有一个，
综上可知当k≥2时，有3个；当＜k＜2时，有两个；当k=时，有0个；当0＜k＜时，有1个．