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【题目】从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形相似,我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.

1)如图,在中,CD为角平分线,,求证:CD的完美分割线.

2)如图,中,CD的完美分割线,且是以CD为底边的等腰三角形,求完美分割线CD的长.

3)在中,CD的完美分割线,且为等腰三角形,直接写出∠ACB的度数.

【答案】1)见解析;(2;(396°114°

【解析】

1)根据完美分割线的定义只要证明①△ABC不是等腰三角形,②△ACD是等腰三角形,③△BDC∽△BCA即可;

2)设BD=x,利用△BCD∽△BAC,列出方程即可解决问题;

3)分三种情形讨论即可:如图a,当AD=CD时,如图b中,当AD=AC时,如图c中,当AC=CD时,分别求出∠ACB即可.

1)证明:∵∠A=40°∠B=60°

∴∠ACB=80°

∴△ABC不是等腰三角形,

∵CD平分∠ACB

∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=40°

∴∠ACD=∠A=40°

∴△ACD为等腰三角形,

∵∠DCB=∠A=40°∠CBD=∠ABC

∴△BCD∽△BAC

∴CD△ABC的完美分割线;

2)解:由已知AC=AD=2

∵△BCD∽△BAC

BD=x

∵x0

∴x=

∵△BCD∽△BAC

,即

∴CD=

3)解:AD=CD时,如图a

∠ACD=∠A=48°

∵△BDC∽△BCA

∴∠BCD=∠A=48°

∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°

AD=AC时,如图b中,

∠ACD=∠ADC==66°

∵△BDC∽△BCA

∴∠BCD=∠A=48°

∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°

AC=CD时,如图c中,∠ADC=∠A=48°

∵△BDC∽△BCA

∴∠BCD=∠A=48°

∵∠ADC∠BCD,矛盾,舍弃.

综上所述,∠ACB=96°114°

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△PMN是等边三角形时,P点有4个;

0<x<4﹣2时,P点最多有9个.

其中结论正确的是(  )

A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④

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