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    如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，BC=6，AD=3，∠DCB=30°．点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动．已知F点移动速度是E点移动速度的2倍，以EF为一边在CB的上方作等边△EFG．设E点移动距离为x（x＞0）．
    （1）△EFG的边长是______（用含有x的代数式表示），当x=2时，点G的位置在______；
    （2）若△EFG与梯形ABCD重叠部分面积是y，求：
    ①当0＜x≤2时，y与x之间的函数关系式；
    ②当2＜x≤6时，y与x之间的函数关系式；
    （3）探求（2）中得到的函数y在x取含何值时，存在最大值，并求出最大值．
    【答案】分析：（1）根据等边三角形的三边相等，则△EFG的边长是点E移动的距离；根据等边三角形的三线合一和F点移动速度是E点移动速度的2倍，即可分析出BF=4，此时等边三角形的边长是2，则点G和点D重合；
    （2）①当0＜x≤2时，重叠部分的面积即为等边三角形的面积；
    ②当2＜x≤6时，分两种情况：当2＜x＜3时和当3≤x≤6时，进行计算；
    （3）分别求得（2）中每一种情况的最大值，再进一步比较取其中的最大值即可．
    解答：解：（1）∵点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动，且F点移动速度是E点移动速度的2倍，
    ∴BF=2BE=2x，
    ∴EF=BF-BE=2x-x=x，
    ∴△EFG的边长是x；
    过D作DH⊥BC于H，得矩形ABHD及直角△CDH，连接DE、DF．
    在直角△CDH中，∵∠C=30°，CH=BC-AD=3，
    ∴DH=CH•tan30°=3×=．
    当x=2时，BE=EF=2，
    ∵△EFG是等边三角形，且DH⊥BC交点H，
    ∴EH=HF=1
    ∴DE=DF==2，
    ∴△DEF是等边三角形，
    ∴点G的位置在D点．
    故答案为x，D点；

    （2）①当0＜x≤2时，△EFG在梯形ABCD内部，所以y=x2；
    ②分两种情况：
    Ⅰ．当2＜x＜3时，如图1，点E、点F在线段BC上，
    △EFG与梯形ABCD重叠部分为四边形EFNM，
    ∵∠FNC=∠FCN=30°，∴FN=FC=6-2x．∴GN=3x-6．
    ∵在Rt△NMG中，∠G=60°，GN=3x-6，
    ∴GM=（3x-6），
    由勾股定理得：MN=（3x-6），
    ∴S△GMN=×GM×MN=×（3x-6）×（3x-6）=（3x-6）2，
    所以，此时y=x2-（3x-6）2=；

    Ⅱ．当3≤x≤6时，如图2，点E在线段BC上，点F在射线CH上，
    △EFG与梯形ABCD重叠部分为△ECP，
    ∵EC=6-x，
    ∴y=（6-x）2=；
    （3）当0＜x≤2时，
    ∵y=x2，在x＞0时，y随x增大而增大，
    ∴x=2时，y最大=；
    当2＜x＜3时，∵y=，在x=时，y最大=；
    当3≤x≤6时，∵y=，在x＜6时，y随x增大而减小，
    ∴x=3时，y最大=．
    综上所述：当x=时，y最大=．

    点评：此题是一道动态题，难度较大，注意不同的情况，能够熟练求得二次函数的最值．
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    11、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD交于点O，则S△AOD
    =
    S△BOC．（填“＞”、“=”或“＜”）

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    精英家教网如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，对角线BD⊥DC．
    （1）求证：△ABD∽△DCB；
    （2）若BD=7，AD=5，求BC的长．

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    20、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，并且AB=8，AD=3，CD=6，并且∠B+∠C=90°，则梯形面积S梯形ABCD=
    38.4
    ．

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    A、3cmB、7cmC、3cm或7cmD、2cm

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