Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，点H为DC上一点，BD、AH交于点O，△ABO为等边三角形，点E在线段AO上，OD＝OE，连接BE，点F为BE的中点，连接AF并延长交BC于点G，且∠GAD＝60°．

（1）若CH＝2，AB＝4，求BC的长；

（2）求证：BD＝AB+AE．

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析

【解析】

（1）延长AH、BC相交于点M，可证明△MCH∽△MBA，得出MH=AH，BM=2BC；由∠DOH=∠AOB=60°，∠ODH=∠OBA=60°，∠OHD=∠OAB=60°，可得△DOH是等边三角形，AE=OA-OE=OA-OD=2，得点E是OA的中点，根据“三线合一”可得BE的长度、BE⊥OA，根据勾股定理求出BM的长，而BC= BM；

（2）AB=OB，由（1）知，AE=OE=OD，可证BD=OB+OD=AB+AE．

解：延长AH、BC相交于点M，

∵ABCD

∴CD＝AB＝4，CD∥AB

∴∠MHC＝∠MAB，∠MCH＝∠MBA

∴△MCH∽△MBA

∵CH＝2

∴MH＝AH，BM＝2BC

∵△ABO为等边三角形

∴∠AOB＝∠OAB＝∠OBA＝60°，OA＝AB＝4

∴∠DOH＝∠AOB＝60°

∴∠ODH＝∠OBA＝60°，∠OHD＝∠OAB＝60°

∴∠DOH＝∠ODH＝∠OHD

∴△DOH是等边三角形

∴OH＝OD＝DH＝2

∴MH＝AH＝OA+OH＝4+2＝6，EM＝OE+OH+MH＝10

∵OD＝OE＝2

∴AE＝OA﹣OE＝4﹣2＝2

∴点E是OA的中点

∵△ABO为等边三角形

∴BE⊥OA，∠ABE＝30°

在Rt△BEM中，∠BEM＝90°

∴BE2+EM2＝BM2

（2）∵△ABO为等边三角形

∴AB＝OB

由（1）知，AE＝OE＝OD

∵BD＝OB+OD

∴BD＝AB+AE