Question

如图，抛物线y＝x²＋bx＋c与x轴交于点A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C（0,－3），且抛物线的对称轴是直线x=1．

（1）求b的值；
（2）点E是y轴上一动点，CE的垂直平分线交y轴于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限．当线段PQ = AB时，求点E的坐标；
（3）若点M在射线CA上运动，过点M作MN⊥y轴，垂足为N，以M为圆心，MN为半径作⊙M,当⊙M与x轴相切时，求⊙M的半径.

Answer 1

（1）b="-2" （2）点E的坐标为（0，- ） （3）

试题分析：解：（1）由图可知，对称轴x=1
X===1
即b=-1
（2）∵抛物线的对称轴为直线x=1
∴设抛物线的解析式为y＝(x-1)²＋k
∵抛物线过点C（0,－3），
∴ (0-1)²＋k＝-3
解得k＝-4
抛物线的解析式为y＝(x-1)²-4＝x²-2x-3
令y=0，则x²-2x-3=0
解得x₁ = 3，x₂ = -1
点A坐标为（-1,0），点B坐标为（3,0）
∴AB=4，又PQ = AB
∴PQ ="3"
∵PQ⊥y轴
∴PQ∥x轴
设直线PQ交直线x=1于点G
由抛物线的轴对称性可得，PG=
∴点P的横坐标为 -  
将点P的横坐标代入y＝x²-2x-3中，得y =" -"
∴点P坐标为（- ，- ）
∴点F坐标为（0，- ）
∴FC=" -"  -( -3)=  
∵PQ垂直平分CE
∴CE="2" FC=
∴点E的坐标为（0，- ）
(3)设直线l _{A C}：y="k" x+ b(k≠0)
过点A（-1,0），C（0，-3）
∴y=-3x+3
∴M（x_M,-3x_M+3）
又∵⊙M与x轴相切，MN⊥y轴
∴x _M=-3x_M+3
∴x _M=
∴⊙M的半径为

点评：此类题可以利用抛物线的对称性可求出抛物线的解析式，函数值，两点间的距离，点的坐标，利用对称点的坐标也可以求出其对称轴，要认真体会，灵活应用。