Question

如图，四边形OABC中，CB∥OA，∠OCB=90?，CB=1，OA=OC，O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，直线y=-

1

2

x+1过A点，且与y轴交于D点．
（1）求出A、点B的坐标；
（2）求证：AD=BO且AD⊥BO；
（3）若点M是直线AD上的一个动点，在x轴上是否存在另一个点N，使以O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：存在型

分析：（1）根据直线解析式，令y=0求出x的值，即可得到点A的坐标，过点B作BF⊥AO于F，可得四边形BCOF是矩形，根据矩形的对边相等得到OF=BC=1，从而求出AF的长度，再根据勾股定理求出BF的长度，点B的坐标即可得到；
（2）根据直线的解析式求出点D的坐标，得到CD=1，根据矩形的对边相等，OC=2，然后利用边角边证明△AOD与△OCB全等，从而得到AD=BO，根据全等三角形对应角相等可得∠OAD=∠COB，根据∠COB+∠AOB=90°可得∠OAD+∠AOB=90°，从而得到∠AEO=90°，得证；
（3）根据平行四边形的对边平行且相等可得BM∥AN且BM=AN，令y=2求出点M的坐标，从而得到BM的长度，再分点N在点O的左边与右边、点N关于A的对称点三种情况讨论求出点N的坐标．

解答：解：（1）当y=0时，-

1

2

x+1=0，
解得x=2，
∴点A的坐标是（2，0），
∴AO=2，
∵OA=OC，
∴OC=2，
过点B作BF⊥AO于F，则四边形BCOF是矩形，
∴OF=BC=1，
∴点B的坐标为（1，2）；

（2）当x=0时，y=-

1

2

×0+1=1，
∴点D的坐标为（0，1），
∴OD=BC=1，
根据（1）的结论，四边形BCOF是矩形，
∴OC=BF=2，
∴AO=OC=2，
在△AOD与△OCB中，

OD=BC ∠AOD=∠OCB=90° AO=OC

，
∴△AOD≌△OCB（SAS），
∴AD=BO
∴∠OAD=∠COB，
∵∠COB+∠AOB=90°，
∴∠OAD+∠AOB=90°，
∴∠AEO=90°，
∴AD⊥BO；

（3）存在．
∵点N在x轴上，O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，
∴BM∥x轴，且BM=ON，
根据（1），点B的坐标为（1，2），
∴-

1

2

x+1=2，
解得x=-2，
∴点M的坐标为（-2，2），
∴BM=1-（-2）=1+2=3，
①点N在点O的左边时，ON=BM=3，
∴点N的坐标为（-3，0），
②点N在点O的右边时，ON=BM=3，
∴点N的坐标为（3，0），
③作N（-3，0）关于A对称的点N′，则N′也符合，
点N′的坐标是（7，0），
综上所述，点N的坐标为（-3，0）或（3，0）或（7，0）．

点评：本题是对一次函数的综合考查，主要有坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，平行四边形的性质，综合性较强，但难度不大，只有仔细分析题目，理清数量关系便不难解决．