Question

【题目】如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，D是劣弧的中点BD交AC于点E．

（1）求证：AD2＝DEDB．

（2）若BC＝5，CD＝，求DE的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）DE＝．

【解析】

（1）根据D是劣弧的中点，有∠DAC＝∠ABD，结合公共角∠ADB，证明△ABD∽△EAD列出比例式即可；

（2）根据D是劣弧的中点，有AD＝CD，故DC2＝DEDB，然后由BC是直径，可得△BCD是直角三角形，利用勾股定理求出BD的长即可解决问题．

（1）证明：∵D是劣弧的中点，

∴，

∴∠ABD＝∠DAC，

又∵∠ADB＝∠EDA，

∴△ABD∽△EAD，

∴＝，

∴AD2＝DEDB；

（2）解：由D是劣弧的中点，得AD＝DC，则DC2＝DEDB，

∵BC是直径，

∴△BCD是直角三角形，

∴BD＝＝＝2，

由DC2＝DEDB得：（）2＝2DE，

解得：DE＝．