Question

如图，△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝2，DC＝3，求AD的长．

小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题．

请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：

(1)分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，证明四边形AEGF是正方形；

(2)设AD＝x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：由题意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF　　1分 　　∴∠DAB＝∠EAB，∠DAC＝∠FAC，又∠BAC＝45°， 　　∴∠EAF＝90°　　3分 　　又∵AD⊥BC 　　∴∠E＝∠ADB＝90°∠F＝∠ADC＝90°　　4分 　　又∵AE＝AD，AF＝AD 　　∴AE＝AF　　5分 　　∴四边形AEGF是正方形　　6分 　　(2)解：设AD＝x，则AE＝EG＝GF＝x　　7分 　　∵BD＝2，DC＝3 　　∴BE＝2，CF＝3∴BG＝x－2，CG＝x－3　　9分 　　在Rt△BGC中，BG2＋CG2＝BC2 　　∴(x－2)2＋(x－3)2＝52　　11分 　　化简得，x2－5x－6＝0 　　解得x1＝6，x2＝－1(舍) 　　所以AD＝x＝6　　12分