Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB=6，P为边CD上一点，把△BCP沿直线BP折叠，顶点C折叠到C′，连接BC′与AD交于点E，连接CE与BP交于点Q，若CE⊥BE.

(1)求证：△ABE∽△DEC；

(2)当AD=13时，AE<DE，求CE的长；

(3)连接C′Q，直接写出四边形C′QCP的形状：______.当CP=4时，并求CEEQ的值.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)3 ；(3)菱形，24.

【解析】

(1)由题意可得∠AEB+∠CED=90°,且∠ECD+∠CED=90°,可得∠AEB=∠ECD,且∠A=∠D=90°,则可证△ABE∽△DEC；

(2)设AE=x,则DE=13x,由相似三角形的性质可得 ,即：，可求x的值，即可得DE=9，根据勾股定理可求CE的长；

(3)由折叠的性质可得CP=C′P,CQ=C′Q,∠C′PQ=∠CPQ,∠BC′P=∠BCP=90,由平行线的性质可得∠C′PQ=∠CQP=∠CPQ,即可得CQ=CP=C′Q=C′P,则四边形C′QCP是菱形,通过证△C′EQ∽△EDC,可得 ，即可求CEEQ的值.

证明：(1)∵CE⊥BE，

∴∠BEC=90°，

∴∠AEB+∠CED=90°，

又∵∠ECD+∠CED=90°，

∴∠AEB=∠ECD，

又∵∠A=∠D=90°，

∴△ABE∽△DEC

(2)设AE=x，则DE=13x，

由(1)知：△ABE∽△DEC，

∴ ,即：

∴x13x+36=0，

∴x=4,x=9，

又∵AE<DE

∴AE=4，DE=9，

在Rt△CDE中,由勾股定理得： .

(3)∵折叠，

∴CP=C′P,CQ=C′Q,∠C′PQ=∠CPQ,∠BC′P=∠BCP=90°，

∵CE⊥BC′,∠BC′P=90°，

∴CE∥C′P，

∴∠C′PQ=∠CQP，

∴∠CQP=∠CPQ，

∴CQ=CP，

∴CQ=CP=C′Q=C′P，

∴四边形C′QCP是菱形，

故答案为：菱形

∵四边形C′QCP是菱形，

∴C′Q∥CP，C′Q=CP，∠EQC′=∠ECD

又∵∠C′EQ=∠D=90°，

∴△C′EQ∽△EDC

∴

∴CEEQ=DCC′Q=6×4=24