Question

11．如图，已知抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c与y轴相交于点C，与x轴相交于点A、B，点B的坐标为（-1，0），点C的坐标为（0，-1）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是线段AC下方抛物线上一点，当△ACE的面积最大时，求点E的坐标；
（3）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由于抛物线的解析式中只有两个待定系数，因此只需将B、C两点的坐标代入抛物线中即可求出二次函数的解析式；
（2）首先假设出E点坐标，进而表示出S_△ACE=S_△AOE+S_△OCE-S_△AOC得出答案；
（3）根据抛物线的解析式，可求出B点的坐标，进而能得到直线BC的解析式，设出点P的横坐标，根据直线BC的解析式表示出P点的纵坐标，然后利用坐标系两点间的距离公式分别表示出△ACP三边的长，从而根据：①AP=CP、②AC=AP、③CP=AC，三种不同等量关系求出符合条件的P点坐标．

解答 解：（1）由于抛物线经过B（-1，0），C（0，-1），
则有：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}×（-1）^{2}+2b+c=0}\\{c=-1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{1}{2}}\\{c=-1}\end{array}\right.$；
故抛物线的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x-1．

（2）如图1，连接OE，AE
当y=0，则0=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x-1，
解得：x₁=2，x₂=-1，
则A（2，0），设E（x，$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x-1），
故△ACE的面积：
S=S_△AOE+S_△OCE-S_△AOC
=$\frac{1}{2}$×2×[-（$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x-1）+$\frac{1}{2}$×1×x-$\frac{1}{2}$×1×2
=-$\frac{1}{2}$x²+x
=-$\frac{1}{2}$（x-1）²+$\frac{1}{2}$，
因此当x=1，
即E（1，-1）时，△ACE的面积最大，且最大值为$\frac{1}{2}$．

（3）由（1）的抛物线解析式易知：B（-1，0），
可求得直线BC的解析式为：y=-x-1；
设P（x，-x-1），因为A（2，0），C（0，-1），则有：
AP²=（x-2）²+（-x-1）²=2x²-2x+5，
AC²=5，CP²=x²+（-x-1+1）²=2x²；
①如图2，

当AP=CP时，AP²=CP²，有：
2x²-2x+5=2x²，解得x=2.5，
故P₁（2.5，-3.5）；
②如图3，

当AP=AC时，AP²=AC²，有：
2x²-2x+5=5，
解得：x=0（舍去），x=1，
故P₂（1，-2）；
③如图4，

当CP=AC时，CP²=AC²，有：
2x²=5，
解得：x=±$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
故P₃（$\frac{\sqrt{10}}{2}$，-$\frac{\sqrt{10}}{2}$-1），P₄（-$\frac{\sqrt{10}}{2}$，$\frac{\sqrt{10}}{2}$-1）；
综上所述，存在符合条件的P点，且P点坐标为：P₁（2.5，-3.5），P₂（1，-2），P₃（$\frac{\sqrt{10}}{2}$，-$\frac{\sqrt{10}}{2}$-1），P₄（-$\frac{\sqrt{10}}{2}$，$\frac{\sqrt{10}}{2}$-1）．

点评 此题主要考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法、二次函数最值的应用、等腰三角形的构成条件等重要知识，同时还考查了分类讨论、数形结合的数学思想，难度较大．