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(2013•玉溪)如图,顶点为A的抛物线y=a(x+2)2-4交x轴于点B(1,0),连接AB,过原点O作射线OM∥AB,过点A作AD∥x轴交OM于点D,点C为抛物线与x轴的另一个交点,连接CD.
(1)求抛物线的解析式(关系式);
(2)求点A,B所在的直线的解析式(关系式);
(3)若动点P从点O出发,以每秒1个单位长度的速度沿着射线OM运动,设点P运动的时间为t秒,问:当t为何值时,四边形ABOP分别为平行四边形?等腰梯形?
(4)若动点P从点O出发,以每秒1个单位长度的速度沿线段OD向点D运动,同时动点Q从点C出发,以每秒2个单位长度的速度沿线段CO向点O运动,当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动.设它们的运动时间为t秒,连接PQ.问:当t为何值时,四边形CDPQ的面积最小?并求此时PQ的长.
分析:(1)将点B的坐标代入到抛物线的解析式中即可求得a值,从而求得其解析式;
(2)将点A和点B的坐标代入到直线的解析式利用待定系数法确定其解析式即可;
(3)利用两点坐标求得线段AB的长,然后利用平行四边形的对边相等求得t=5时,四边形ABOP为平行四边形;若四边形ABOP为等腰梯形,连接AP,过点P作PG⊥AB,过点O作OH⊥AB,垂足分别为G、H,根据△APG≌△BOH求得线段OP=GH=AB-2BH=
19
5

(4)首先判定四边形ABOD是平行四边形,然后确定S△DOC=
1
2
×5×4=10.过点P作PN⊥BC,垂足为N,利用△OPN∽△BOH得到PN=
4
5
t,然后表示出四边形CDPQ的面积S=S△DOC-S△OPQ=10-
1
2
×(5-2t )×
4
5
t=
4
5
t2-2 t+10,从而得到当t=
5
4
时,四边形CDPQ的面积S最小.然后得到点P的坐标是(-
3
4
,-1),点Q的坐标是(-
5
2
,0),利用两点坐标公式确定PQ的长即可.
解答:解:(1)把(1,0)代入y=a(x+2)2-4,
得a=
4
9

∴y=
4
9
(x+2)2-4,
即y=
4
9
x2+
16
9
x-
20
9


(2)设直线AB的解析式是y=kx+b.
∵点A(-2,-4),点B(1,0),
-2k+b=-4
k+b=0
 
解得
k=
4
3
b=-
4
3

∴y=
4
3
x-
4
3


(3)由题意得OP=t,AB=
(-2-1)2+(-4-0)2
=5
=5.
若四边形ABOP为平行四边形,则OP=AB=5,即当t=5时,四边形ABOP为平行四边形.
若四边形ABOP为等腰梯形,连接AP,过点P作PG⊥AB,过点O作OH⊥AB,垂足分别为G、H.
∴△APG≌△BOH.
在Rt△OBM中,
∵OM=
4
3
,OB=1,
∴BM=
5
3

∴OH=
4
5

∴BH=
3
5

∴OP=GH=AB-2BH=
19
5

即当t=
19
5
时,四边形ABOP为等腰梯形.

(4)将y=0代入y=
4
9
 x2+
16
9
x-
20
9
,得
4
9
 x2+
16
9
x-
20
9
=0,
解得x=1或-5.
∴C(-5,0).
∴OC=5.
∵OM∥AB,AD∥x轴,
∴四边形ABOD是平行四边形.
∴AD=OB=1.
∴点D的坐标是(-3,-4).
∴S△DOC=
1
2
×5×4=10.
过点P作PN⊥BC,垂足为N.易证△OPN∽△BOH.
PN
OH
=
OP
OB

PN
4
5
=
t
1

∴PN=
4
5
t.
∴四边形CDPQ的面积S=S△DOC-S△OPQ=10-
1
2
×(5-2t)×
4
5
t=
4
5
t2-2t+10.
∴当t=
5
4
时,四边形CDPQ的面积S最小.
此时,点P的坐标是(-
3
4
,-1),点Q的坐标是(-
5
2
,0),
∴PQ=
(-
5
2
+
3
4
)
2
+(0+1)2
=
65
4
点评:本题考查了二次函数的综合知识,往往是中考的压轴题目,难度比较大.
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