Question

（2013•大连）如图，抛物线y=-

4

5

x²+

24

5

x-4与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，抛物线的对称轴与x轴相交于点M．P是抛物线在x轴上方的一个动点（点P、M、C不在同一条直线上）．分别过点A、B作直线CP的垂线，垂足分别为D、E，连接点MD、ME．
（1）求点A，B的坐标（直接写出结果），并证明△MDE是等腰三角形；
（2）△MDE能否为等腰直角三角形？若能，求此时点P的坐标；若不能，说明理由；
（3）若将“P是抛物线在x轴上方的一个动点（点P、M、C不在同一条直线上）”改为“P是抛物线在x轴下方的一个动点”，其他条件不变，△MDE能否为等腰直角三角形？若能，求此时点P的坐标（直接写出结果）；若不能，说明理由．

Answer 1

分析：（1）在抛物线解析式中，令y=0，解一元二次方程，可求得点A、点B的坐标；
如答图1所示，作辅助线，构造全等三角形△AMF≌△BME，得到点M为为Rt△EDF斜边EF的中点，从而得到MD=ME，问题得证；
（2）首先分析，若△MDE为等腰直角三角形，直角顶点只能是点M．如答图2所示，设直线PC与对称轴交于点N，首先证明△ADM≌△NEM，得到MN=AM，从而求得点N坐标为（3，2）；其次利用点N、点C坐标，求出直线PC的解析式；最后联立直线PC与抛物线的解析式，求出点P的坐标．
（3）当点P是抛物线在x轴下方的一个动点时，解题思路与（2）完全相同．

解答：解：（1）抛物线解析式为y=-

4

5

x²+

24

5

x-4，令y=0，
即-

4

5

x²+

24

5

x-4=0，解得x=1或x=5，∴A（1，0），B（5，0）．
如答图1所示，分别延长AD与EM，交于点F．

∵AD⊥PC，BE⊥PC，∴AD∥BE，∴∠MAF=∠MBE．
在△AMF与△BME中，

∠MAF=∠MBE MA=MB ∠AMF=∠BME

，
∴△AMF≌△BME（ASA），
∴ME=MF，即点M为Rt△EDF斜边EF的中点，
∴MD=ME，即△MDE是等腰三角形．

（2）答：能．
抛物线解析式为y=-

4

5

x²+

24

5

x-4=-

4

5

（x-3）²+

16

5

，
∴对称轴是直线x=3，M（3，0）；
令x=0，得y=-4，∴C（0，-4）．
△MDE为等腰直角三角形，有3种可能的情形：
①若DE⊥EM，
由DE⊥BE，可知点E、M、B在一条直线上，
而点B、M在x轴上，因此点E必然在x轴上，
由DE⊥BE，可知点E只能与点O重合，即直线PC与y轴重合，
不符合题意，故此种情况不存在；
②若DE⊥DM，与①同理可知，此种情况不存在；
③若EM⊥DM，如答图2所示：

设直线PC与对称轴交于点N，
∵EM⊥DM，MN⊥AM，∴∠EMN=∠DMA．
在△ADM与△NEM中，

∠EMN=∠DMA EM=DM ∠ADM=∠NEM=135°

∴△ADM≌△NEM（ASA），
∴MN=MA．
抛物线解析式为y=-

4

5

x²+

24

5

x-4=-

4

5

（x-3）²+

16

5

，故对称轴是直线x=3，
∴M（3，0），MN=MA=2，
∴N（3，2）．
设直线PC解析式为y=kx+b，∵点N（3，2），C（0，-4）在直线上，
∴

3k+b=2 b=-4

，解得k=2，b=-4，∴y=2x-4．
将y=2x-4代入抛物线解析式得：2x-4=-

4

5

x²+

24

5

x-4，
解得：x=0或x=

7

2

，
当x=0时，交点为点C；当x=

7

2

时，y=2x-4=3．
∴P（

7

2

，3）．
综上所述，△MDE能成为等腰直角三角形，此时点P坐标为（

7

2

，3）．

（3）答：能．
如答题3所示，设对称轴与直线PC交于点N．
与（2）同理，可知若△MDE为等腰直角三角形，直角顶点只能是点M．

∵MD⊥ME，MA⊥MN，∴∠DMN=∠EMB．
在△DMN与△EMB中，

∠DMN=∠EMB MD=ME ∠MDN=∠MEB=45°

，
∴△DMN≌△EMB（ASA），
∴MN=MB．
∴N（3，-2）．
设直线PC解析式为y=kx+b，∵点N（3，-2），C（0，-4）在抛物线上，
∴

3k+b=-2 b=-4

，解得k=

2

3

，b=-4，∴y=

2

3

x-4．
将y=

2

3

x-4代入抛物线解析式得：

2

3

x-4=-

4

5

x²+

24

5

x-4，
解得：x=0或x=

31

6

，
当x=0时，交点为点C；当x=

31

6

时，y=

2

3

x-4=-

5

9

．
∴P（

31

6

，-

5

9

）．
综上所述，△MDE能成为等腰直角三角形，此时点P坐标为（

31

6

，-

5

9

）．

点评：本题是二次函数综合题型，考查了二次函数与一次函数的图象与性质、待定系数法、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形、解方程等知识点，题目难度较大．第（2）（3）问均为存在型问题，且解题思路完全相同，可以互相借鉴印证．