Question

已知：△ABC，∠C=90°∠BAC=ɑ，AD为中线，BE为∠ABC的平分线，交AD于F．
（1）若sinɑ=

1

2

，则

CE

AE

=

 

，

AF

DF

=

 

；
（2）若sinɑ=

4

5

，求证：2AF=5DF；
（3）写出

AF

DF

与ɑ的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）过C作CG∥AB，根据角平分线的定义和两直线平行，内错角相等可以证明∠G=∠CBG，所以BC=CG，再根据平行线可以得到△CEG与△AEB相似，根据相似三角形对应边成比例，

CE

AE

=

CG

AB

=sinɑ；过D作DH∥AC，根据AD是中线可得DH是△BCE的中位线，DH=

1

2

CE，再根据平行线得到△AEF与△DHF相似，根据相似三角形对应边成比例列式并代入整理即得AF：DF=2÷sinɑ，然后计算即可；
（2）与（1）的第二问的思路相同，只是把sinɑ的值换成

4

5

，然后进行计算即可；
（3）与（1）的第二问的思路相同写出即可．

解答：（1）解：①如图，过C作CG∥AB，
∴∠G=∠ABG，
∵BE为∠ABC的平分线，
∴∠ABG=∠CBG，
∴∠G=∠CBG，
∴BC=CG，
∵CG∥AB，
∴△CEG∽△AEB，
∴

CE

AE

=

CG

AB

，
∴

CE

AE

=

BC

AB

，
∵△ABC，∠C=90°，∠BAC=ɑ，
∴sinɑ=

BC

AB

=

1

2

，
即

CE

AE

=

1

2

；

②过D作DH∥AC，
∵AD为中线，
∴DH是△BCE的中位线，
∴DH=

1

2

CE，
又根据DH∥AC可得△AEF∽△DHF，
∴

AF

DF

=

AE

DH

，
∴

AF

DF

=

AE

1 2 CE

=2×

AE

CE

=

2

sinɑ

=

2

1 2

=4；
故答案为：

1

2

，4；

（2）证明：如图，过D作DH∥AC，同（1）可证

AF

DF

=

AE

DH

=2×

AE

CE

，
∵BE为∠ABC的平分线，
∴

AE

CE

=

AB

BC

=

1

sinɑ

，
∴

AF

DF

=2×

1

sinɑ

，
∵sinɑ=

4

5

，
∴

AF

DF

=2×

5

4

=

5

2

，
即2AF=5DF；

（3）与（1）的第二问同理：

AF

DF

=

2

sina

．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，解直角三角形，利用角平分线证明出三角形角平分线分对边所得两条线段的比等于三角形的两邻边之比是解本题的关键．