Question

如图，已知二次函数的图象与轴相交于两个不同的点、，与轴的交点为．设的外接圆的圆心为点．

（1）求与轴的另一个交点D的坐标；
（2）如果恰好为的直径，且的面积等于，求和的值．

Answer 1

（1）（0，1）；（2）

解析试题分析：（1）令x=0，代入抛物线解析式，即求得点C的坐标．由求根公式求得点A、B的横坐标，得到点A、B的横坐标的和与积，由相交弦定理求得OD的值，从而得到点D的坐标．
（2）当AB又恰好为⊙P的直径，由垂径定理知，点C与点D关于x轴对称，故得到点C的坐标及k的值．根据一元二次方程的根与系数的关系式表示出AB线段的长，由三角形的面积公式表示出△ABC的面积，可求得m的值．
（1）易求得点的坐标为
由题设可知是方程即 的两根，
所以，
所
∵⊙P与轴的另一个交点为D，由于AB、CD是⊙P的两条相交弦，设它们的交点为点O，连结DB，
∴△AOC∽△DOC，则
由题意知点在轴的负半轴上，从而点D在轴的正半轴上，
所以点D的坐标为（0，1）；
（2）因为AB⊥CD， AB又恰好为⊙P的直径，则C、D关于点O对称，
所以点的坐标为，即
又，
所以解得
考点：一元二次方程的求根公式，根与系数的关系，相交弦定理，垂径定理，三角形的面积公式
点评：本题知识点较多，综合性强，难度较大，是中考常见题，如何表示OD及AB的长是本题中解题的关键．