Question

【题目】如图，y=ax2+bx－2的图象过A（1，0），B（－2，0），与y轴交于点C．

（1）求抛物线关系式及顶点M的坐标；

（2）若N为线段BM上一点，过N作x轴的垂线，垂足为Q，当N在线段BM上运动（N不与点B、点M重合），设NQ的长为t，四边形NQAC的面积为S，求S与t的关系式并求出S的最大值；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PAC为直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+x－2 ，顶点M的坐标是（－，－）；（2）S与t间的函数关系式为S=－t2+t+3，当t=时，S的最大值为；（3）存在符合条件的点P，其坐标分别是：P1（－，－），P2（－，－），P3（－，－），P4（－，）．

【解析】

（1）利用交点式得出抛物线的解析式为y=a（x-1）（x+2），将C（0，-2）坐标代入求出a的值即可；

（2）利用待定系数法求出线段BM所在的直线的解析式，再利用S=S△AOC+S梯形OCNQ求出S与t间的函数关系式即可求出最值；

（3）利用①若∠APC=90°，则PC2+PA2=AC2，②若∠ACP=90°，则PC2+AC2=PA2，③若∠PAC=90°，则AC2+PA2=PC2，分别求出m的值即可得出P点坐标．

解：（1）∵二次函数y=ax2+bx－2的图象经过点A（1，0）及B（－2，0）两点．

∴设抛物线的解析式为y=a（x－1）（x+2），

将C（0，－2）坐标代入，－2=a（0－1）（0+2），

解得：a=1，

故y=x2+x－2=（x+）2－；

则其顶点M的坐标是（－，－）；

（2）设线段BM所在直线的解析式为y=kx+b，

∴ 解得，，

∴线段BM所在的直线的解析式为y=－x－3，

∵－t=－x－3，

∴x=t－2，

点N的坐标为N（t－2，－t），

∴S=S△AOC+S梯形OCNQ=×1×2+（2+t）|t－2|═－t2+t+3，

∴S与t间的函数关系式为S=－t2+t+3=－（t－）2+，

当t=时，S的最大值为；

（3）存在符合条件的点P， 其坐标分别是：

P1（－，－），P2（－，－），P3（－，－），P4（－，）．

解答过程如下：

设点P的坐标为P（－，m），如图，连接PA，PC，作CE⊥MP于E．

则AC2=12+22=5，

PA2=（－－1）2+m2，PC2=（）2+（m+2）2，

分以下三种情况讨论：

①若∠APC=90°，则PC2+PA2=AC2，

即（－－1）2+m2+（）2+（m+2）2=5，

解得：m1=－，m2=－，

②若∠ACP=90°，则PC2+AC2=PA2，

即（）2+（m+2）2+5=（－－1）2+m2，

解得：m=－．

③若∠PAC=90°，则AC2+PA2=PC2，

即（－－1）2+m2+5=（）2+（m+2）2，

解得：m=，

综上所述，存在满足条件的点P，其坐标分别是：P1（－，－），P2（－，－），P3（－，－），P4（－，）．