Question

【题目】如图1，点E在矩形ABCD的边AD上，AD＝6，tan∠ACD＝，连接CE，线段CE绕点C旋转90°，得到线段CF，以线段EF为直径做⊙O．

（1）请说明点C一定在⊙O上的理由；

（2）点M在⊙O上，如图2，MC为⊙O的直径，求证：点M到AD的距离等于线段DE的长；

（3）当△AEM面积取得最大值时，求⊙O半径的长；

（4）当⊙O与矩形ABCD的边相切时，计算扇形OCF的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3）；（4）4π．

【解析】

（1）连接OC，由旋转的性质得出∠ECF＝90°，由直角三角形斜边的中线的性质得出OC＝OE＝OF，即可得出点C一定在⊙O上；

（2）易证EM＝CE，过点M作MN⊥AD于N，由AAS证得△MEN≌△CED，得出MN＝DE，即可得出结论；

（3）设AE＝x，则DE＝6﹣x，由（2）得点M到AD的距离等于线段DE的长，则S△AEM＝×x×（6﹣x）＝﹣（x﹣3）2+，当x＝3时，△AEM面积取得最大值，此时，DE＝3，由tan∠ACD＝＝，得出CD＝4，由勾股定理得CE2＝DE2+CD2，求出CE＝5，易证∠CEF＝45°，在Rt△CEF中，由EF＝，即可得出结果；

（4）当⊙O与矩形ABCD的边相切时，只有点O与点D重合时存在，此时⊙O半径r＝CD＝4，∠COF＝90°，由扇形面积公式即可得出结果

（1）解：点C一定在⊙O上的理由如下：

连接OC，如图所示：

由旋转的性质得：∠ECF＝90°，

∵EF是⊙O的直径，O为圆心，

∴OE＝OF，

∴OC＝OE＝OF，

∴点C一定在⊙O上；

（2）证明：由旋转的性质得：∠ECF＝90°，CE＝CF，

∵OE＝OF，

∴CO⊥EF，

∵MC为⊙O的直径，

∴CM⊥EF，OC＝OM，∠MEC＝90°，

∴EM＝CE，

过点M作MN⊥AD于N，如图所示：

∵∠DEC+∠DCE＝90°，∠DEC+∠DEM＝90°，

∴∠DEM＝∠DCE，

在△MEN和△CED中，，

∴△MEN≌△CED（AAS），

∴MN＝DE，即点M到AD的距离等于线段DE的长；

（3）解：∵点E在矩形ABCD的边AD上，AD＝6，

∴∠D＝90°，设AE＝x，则DE＝6﹣x，

由（2）得：点M到AD的距离等于线段DE的长，

∴S△AEM＝×x×（6﹣x）＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣3）2+，

∴当x＝3时，△AEM面积取得最大值，

此时，DE＝6﹣3＝3，

∵tan∠ACD＝＝，

∴CD＝＝4，

由勾股定理得：CE2＝DE2+CD2，即CE2＝32+42，

∴CE＝5，

由（2）得：CM⊥EF，OC＝OM，∠MEC＝90°，

∴∠CEF＝45°，

在Rt△CEF中，EF＝＝＝5，

∴⊙O半径的长为；

（4）当⊙O与矩形ABCD的边相切时，只有点O与点D重合时存在，此时⊙O半径r＝CD＝4，∠COF＝90°，S扇OCF=＝4π．