Question

2．2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果小正方形的面积为3，直角三角形中较小的锐角为30°，那么大正方形的面积为12+6$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据小正方形的面积为3，求出小正方形的边长为$\sqrt{3}$，即b-a=$\sqrt{3}$，然后根据直角三角形中较小的锐角为30°，可得b=$\sqrt{3}$a，联立两式求出a、b的值．继而可求出大正方形的面积．

解答 解：∵小正方形的面积为3，
∴小正方形的边长为$\sqrt{3}$，
即b-a=$\sqrt{3}$，
∵直角三角形中较小的锐角为30°，
∴b=$\sqrt{3}$a，
解得：a=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$，b=$\frac{3+3\sqrt{3}}{2}$，
∵大正方形的面积=c²=a²+b²，
∴大正方形的面积=（$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$）²+（$\frac{3+3\sqrt{3}}{2}$）²=12+6$\sqrt{3}$．
故答案为：12+6$\sqrt{3}$．

点评 此题主要考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理以及三角函数的知识．